Quelltext der Seite Elastischer Stoß

== Vorwissen ==
[[Impuls]], [[kinetische Energie]], [[Energieerhaltungssatz]]

== Definition ==
'''Bei einem ''elastischen Stoß'' prallen zwei Körper aufeinander und trennen sich anschließend wieder. Nach dem Aufprall bewegen sie sich unabhängig voneinander weiter.'''

Es gelten dabei der [[Energieerhaltungssatz]] und der [[Impulserhaltungssatz]]

=== Beispiele ===
Beispiele für einen elastischen Stoß sind: Billardkugeln, Newton-Pendel,...

== Beispielrechnung ==
Gegeben sind zwei Kugeln der Masse <math>m_1=m_2=100\,\mathrm g</math>. Die erste Kugel prallt mit einer Geschwindigkeit von <math>v_1=0.50\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math> auf die zweite, ruhende Kugel (also <math>v_2=0\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}). Gesucht sind die beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß.

Es gilt der Impulserhaltungssatz:

<math>m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'</math>

sowie der Energieerhaltungssatz:

<math>\frac12m_1\cdot v_1^2+\frac12m_2\cdot v_2^2=\frac12m_1\cdot v_1'^2+\frac12m_2\cdot v_2'^2</math>

Setzt man die gegebenen Werte in den Impulserhaltungssatz ein und löst die Gleichung nach <math>v_1'</math> auf, so erhält man:

<math>v_1'=0.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}-v_2'</math>

Diesen Ausdruck kann man für <math>v_1'</math> in den Energieerhaltungssatz einsetzen und die dadurch entstandene Gleichung nach <math>v_2'</math> auflösen. Man erhält dabei mit der Mitternachtsformel:

<math>v_2'=0.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

und damit

<math>v_1'=0\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

== Direkte Formeln ==
Um nicht bei jeder Aufgabe diese Umformungen durchführen zu müssen kann man diese auch allgemein berechnen und erhält daraus die beiden Formeln:

<math>v_1'=\frac{m_1v_1+m_2(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}</math>

und

<math>v_2'=\frac{m_2v_2+m_1(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}</math>

=== Herleitung ===
Die Herleitung dieser beiden Formeln ist etwas aufwändig. Sie wird deshalb nicht im Unterricht besprochen!

Zunächst löst man den Impulserhaltungssatz nach <math>v_1'</math> auf:

<math>m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2=m_1\cdot v_1'+m_2\cdot v_2'\iff v_1'=v_1+\frac{m_2}{m_1}\cdot(v_2-v_2')</math>

und setzt diesen Ausdruck in den Energieerhaltungssatz ein:

<math>\frac12m_1\cdot v_1^2+\frac12m_2\cdot v_2^2=\frac12m_1\cdot \Bigl(v_1+\frac{m_2}{m_1}\cdot(v_2-v_2')\Bigr)^2+\frac12m_2\cdot v_2'^2</math>

Um die weiteren Rechnungen zu vereinfachen können wir die Gesamte Gleichung mit <math>2</math> multiplizieren:

<math>m_1\cdot v_1^2+m_2\cdot v_2^2=m_1\cdot \Bigl(v_1+\frac{m_2}{m_1}\cdot(v_2-v_2')\Bigr)^2+m_2\cdot v_2'^2</math>

Hier muss man zuerst die Klammer mithilfe der bionmischen Formel auflösen:

<math>m_1\cdot v_1^2+m_2\cdot v_2^2=m_1\cdot\underbrace{\Bigl(v_1+\frac{m_2}{m_1}\cdot(v_2-v_2')\Bigr)^2}_{=v_1^2+2\cdot v_1\cdot\frac{m_2}{m_1}\cdot(v_2-v_2')+\frac{m_2^2}{m_1^2}\cdot(v_2-v_2')^2}+m_2\cdot v_2'^2</math>

<math>m_1\cdot v_1^2+m_2\cdot v_2^2=m_1\cdot\Bigl(v_1^2+2\cdot v_1\cdot\frac{m_2}{m_1}\cdot(v_2-v_2')+\frac{m_2^2}{m_1^2}\cdot\underbrace{(v_2-v_2')^2}_{=v_2^2-2\cdot v_2\cdot v_2'+v_2'^2}\Bigr)+m_2\cdot v_2'^2</math>

<math>m_1\cdot v_1^2+m_2\cdot v_2^2=m_1\cdot\Bigl(v_1^2+2\cdot v_1\cdot\frac{m_2}{m_1}\cdot(v_2-v_2')+\frac{m_2^2}{m_1^2}\cdot(v_2^2-2\cdot v_2\cdot v_2'+v_2'^2)\Bigr)+m_2\cdot v_2'^2</math>

<math>m_1\cdot v_1^2+m_2\cdot v_2^2=m_1\cdot v_1^2+2\cdot v_1\cdot m_2\cdot(v_2-v_2')+\frac{m_2^2}{m_1}\cdot(v_2^2-2\cdot v_2\cdot v_2'+v_2'^2)+m_2\cdot v_2'^2</math>

<math>m_2\cdot v_2^2=2\cdot v_1\cdot m_2\cdot(v_2-v_2')+\frac{m_2^2}{m_1}\cdot(v_2^2-2\cdot v_2\cdot v_2'+v_2'^2)+m_2\cdot v_2'^2</math>

<math>m_2\cdot v_2^=2\cdot v_1\cdot m_2\cdot v_2-2\cdot v_1\cdot m_2\cdot v_2'+\frac{m_2^2}{m_1}\cdot v_2^2-2\cdot \frac{m_2^2}{m_1}\cdot v_2\cdot v_2'+\frac{m_2^2}{m_1}\cdot v_2'^2+m_2\cdot v_2'^2</math>

Da wir hierdurch eine quadratische Gleichung für <math>v_2'</math> bekommen, die wir mithilfe der Mitternachtsformel lösen können, müssen wir die Anteile zunächst sortieren:

<math>v_2'^2\cdot\underbrace{\Bigl(m_2+\frac{m_2^2}{m_1}\Bigr)}_{=a}+v_2'\cdot\underbrace{\Bigl(-2v_1m_2-2\frac{m_2^2}{m_1}v_2\Bigr)}_{=b}+\underbrace{\Bigl(-m_2v_2^2+2v_1m_2v_2+\frac{m_2^2}{m_1}v_2^2\Bigr)}_{=c}=0</math>

Nun kann man diese Werte in die Mitternachtsformel einsetzen:

<math>{v_2'}_{1,2}=\frac{-\Bigl(-2v_1m_2-2\frac{m_2^2}{m_1}v_2\Bigr)\pm\sqrt{\Bigl(-2v_1m_2-2\frac{m_2^2}{m_1}v_2\Bigr)^2-4\cdot\Bigl(m_2+\frac{m_2^2}{m_1}\Bigr)\cdot\Bigl(-m_2v_2^2+2v_1m_2v_2+\frac{m_2^2}{m_1}v_2^2\Bigr)}}{2\cdot\Bigl(m_2+\frac{m_2^2}{m_1}\Bigr)}</math>

Betrachten wir zunächst die Diskriminante und vereinfachen diese:

<math>D=\Bigl(-2v_1m_2-2\frac{m_2^2}{m_1}v_2\Bigr)^2-4\cdot\Bigl(m_2+\frac{m_2^2}{m_1}\Bigr)\cdot\Bigl(-m_2v_2^2+2v_1m_2v_2+\frac{m_2^2}{m_1}v_2^2\Bigr)</math>

<math>D=4v_1^2m_2^2+8v_1v_2\frac{m_2^3}{m_1}+4\frac{m_2^4}{m_1^2}v_2^2-4\cdot\Bigl(-m_2^2v_2^2+2v_1m_2^2v_2+\frac{m_2^3}{m_1}v_2^2-\frac{m_2^3}{m_1}v_2^2+2v_1v_2\frac{m_2^3}{m_1}+\frac{m_2^4}{m_1^2}v_2^2\Bigr)</math>

<math>D=4v_1^2m_2^2+8v_1v_2\frac{m_2^3}{m_1}+4\frac{m_2^4}{m_1^2}v_2^2+4m_2^2v_2^2-8v_1m_2^2v_2-4\frac{m_2^3}{m_1}v_2^2+4\frac{m_2^3}{m_1}v_2^2-8v_1v_2\frac{m_2^3}{m_1}-4\frac{m_2^4}{m_1^2}v_2^2</math>

<math>D=4v_1^2m_2^2-8v_1m_2^2v_2+4m_2^2v_2^2</math>

<math>D=(2m_2v_1-2m_2v_2)^2</math>

Die gesamte Gleichung vereinfacht sich dadurch:

<math>{v_2'}_{1,2}=\frac{2m_2v_1+2\frac{m_2^2}{m_1}v_2\pm(2m_2v_1-2m_2v_2)}{2\cdot\Bigl(m_2+\frac{m_2^2}{m_1}\Bigr)}</math>

<math>{v_2'}_{1,2}=\frac{2\frac{m_2}{m_1}\cdot\bigl(m_1v_1+m_2v_2\pm(m_1v_1-m_1v_2)}{2\frac{m_2}{m_1}\cdot(m_1+m_2)\bigr)}</math>

<math>{v_2'}_{1,2}=\frac{m_1v_1+m_2v_2\pm(m_1v_1-m_1v_2)}{m_1+m_2}</math>

Rechnen wir hierbei für das <math>\pm</math> mit <math>-</math>, so erhalten wir die Gleichung <math>v_2'=v_2</math>. Diese Lösung macht also keinen Sinn, da dies die Geschwindigkeit ''direkt vor'' dem Stoß angibt. Es bleibt also als einzige mögliche Lösung die Rechnung mit <math>+</math>:

<math>v_2'=\frac{m_1v_1+m_2v_2+m_1v_1-m_1v_2}{m_1+m_2}</math>

<math>v_2'=\frac{m_2v_2+2m_1v_1-m_1v_2}{m_1+m_2}</math>

<math>v_2'=\frac{m_2v_2+m_1\cdot(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}</math>

Damit erhalten wir die einfache, direkte Lösung für <math>v_2'</math>. Setzen wir diese in unsere Gleichung für <math>v_1'</math> ein, so erhalten wir auch hierfür eine einfache Gleichung:

<math>v_1'=v_1+\frac{m_2}{m_1}\cdot(v_2-v_2')</math>

<math>v_1'=v_1+\frac{m_2}{m_1}v_2-\frac{m_2}{m_1}\cdot\frac{m_2v_2+m_1\cdot(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}</math>

<math>v_1'=\frac{(m_1+m_2)v_1}{m_1+m_2}+\frac{(m_1+m_2)\cdot\frac{m_2}{m_1}v_2}{m_1+m_2}-\frac{\frac{m_2}{m_1}\cdot\bigl(m_2v_2+m_1\cdot(2v_1-v_2)\bigr)}{m_1+m_2}</math>

<math>v_1'=\frac{m_1v_1+m_2v_1+m_2v_2+\frac{m_2^2}{m_1}v_2-\frac{m_2^2}{m_1}v_2-2m_2v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}</math>

<math>v_1'=\frac{m_1v_1+2m_2v_2-m_2v1}{m_1+m_2}</math>

<math>v_1'=\frac{m_1v_1+m_2(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}</math>








== Übungsaufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Ein Güterwaggon der Masse 25t rollt ein 50m langes, unter 2° gegen die Horizpntale geneigtes Gleis hinab und stößt dann auf einen dort abgestelltes, ruhenden Güterwaggon der Masse 18t.

'''Mit welcher Geschwindigkeit stößt der erste Waggon an den zweiten?'''

Gegeben: <math>m=25\,\mathrm t,\quad\alpha=2^\circ,\quad s=50\,\mathrm m</math>

Gesucht: <math>h,\ v</math>

Dazu berechnen wir zunächst die Gesamthöhe, die der Waggon aus potenzieller Energie in Bewegungsenergie umwandelt.

<math>h=sin(2^\circ)\cdot50\,\mathrm{m}=1.7\mathrm{m}</math>

Mit dem Energieerhaltungssatz können wir nun die Geschwindigkeit berechnen:

<math>\frac12\cdot m\cdot v^2=m\cdot g\cdot h\iff v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}=\sqrt{2\cdot9.81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\cdot1.7\,\mathrm{m}}=5.6\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

Antwort: Der erste Güterwaggon trifft mit einer Geschwindigkeit von <math>5.6\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math> auf den Zweiten.

'''Mit welcher Geschwindigkeit rollen die beiden Waggons weiter?'''

Gegeben: <math>m_1=25\,\mathrm t,\quad m_2=18\,\mathrm t,\quad v_1=5.6\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s},\quad v_2=0\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

Gesucht: <math>v_1',\ v_2'</math>

physikalischer Zusammenhang: <math>v_1'=\frac{m_1v_1+m_2\cdot(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}</math> und <math>v_2'=\frac{m_2v_2+m_1\cdot(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}</math>

Einsetzen ergibt: <math>v_1'=0.91\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math> und <math>v_1'=6.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

Antwort: Der erste Waggon fährt nach dem Stoß mit einer Geschwindigkeit von <math>0.91\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>, der zweite Waggon mit <math>6.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

=== Aufgabe 2 ===
Ein Körper der Masse <math>m_1=2\,\mathrm{kg}</math> und der Geschwindigkeit <math>v_1=24\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}</math> trifft auf einen zweiten,
ruhenden Körper der Masse <math>m_2</math>. Nach dem Stoß bewegen sich beide Körper mit gleich großer, aber entgegengesetzt gerichteter Geschwindigkeit voneinander weg. Wie groß ist die Masse <math>m_2</math> des zweiten Körpers und wie groß die Geschwindigkeiten nach dem Stoß?

Gegeben: <math>m_1=2\,\mathrm{kg},\quad v_1=24\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}=6,67\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm s},\quad v_2=0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm s}</math>, außerdem gilt die Bedingung <math>v_1'=-v_2'</math>

Gesucht: <math>v_1',\ v_2',\ m_2</math>

physikalischer Zusammenhang: <math>v_1'=\frac{m_1v_1+m_2\cdot(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}</math> und <math>v_2'=\frac{m_2v_2+m_1\cdot(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}</math>

Aus der Bedingung <math>v_1'=-v_2'</math> folgt also:

<math>v_1'=\frac{m_1v_1+m_2\cdot(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}=-\frac{m_2v_2+m_1\cdot(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}=-v_2'</math>

Also:

<math>\frac{m_1v_1+m_2\cdot(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}=-\frac{m_2v_2+m_1\cdot(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}\qquad\Big|\cdot(m_1+m_2)</math>

<math>m_1v_1+m_2\cdot(2v_2-v_1)=-m_2v_2-m_1\cdot(2v_1-v_2)\qquad\Big|-m_1v_1</math>

<math>m_2\cdot(2v_2-v_1)=-m_2v_2-m_1\cdot(2v_1-v_2)-m_1v_1\qquad\Big|+m_2v_2</math>

<math>m_2v_2+2m_2v_2-m_2v_1=-2m_1v_1+m_1v_2-m_1v_1</math>

<math>m_2(3v_2-v_1)=m_1(-3v_1+v_2)\qquad\Big|:(3v_2-v_1)</math>

<math>m_2=\frac{m_1(v_2-3v_1)}{3v_2-v_1}</math>

Einsetzen ergibt: <math>m_2=6\,\mathrm{kg}</math>

Damit ergibt sich <math>v_1'=-3.4\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math> und <math>v_2'=3.4\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

=== Aufgabe 3 ===
Von zwei in gleicher Höhe pendelnd aufgehängten elastischen Kugeln ist die eine doppelt so schwer (<math>m_1=100\,\mathrm{g}</math>) wie die andere. Die schwerere Kugel wird um die Höhe <math>h=2\,\mathrm{cm}</math> angehoben und losgelassen. Welche Höhe <math>h_1'</math> und <math>h_2'</math> erreichen die Kugeln nach dem Zusammenprall?

Gegeben: <math>m_1=100\,\mathrm g,\quad m_2=50\,\mathrm g,\quad v_2=0\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s},\quad h=2\,\mathrm{cm}</math>

Gesucht: <math>v_1,\ v_1',\ v_2',\ h_1',\ h_2'</math>

Berechne zunächst mit dem Energieerhaltungssatz die Aufprallgeschwindigkeit:

<math>\frac12\cdot m\cdot v_1^2=m\cdot g\cdot h\iff v_1=\sqrt{2\cdot g\cdot h}=\sqrt{2\cdot9.81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\cdot0.02\,\mathrm{m}}=0.63\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

Anschließend können die Geschwindigkeiten nach dem Stoß berechnet werden:

<math>v_1'=\frac{m_1v_1+m_2\cdot(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}=0.21\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

<math>v_2'=\frac{m_2v_2+m_1\cdot(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}=0.84\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}</math>

Damit können widerum mit dem Energieerhaltungssatz berechnet werden, welche Höhe die beiden Kugeln erreichen:

<math>\frac12\cdot m\cdot v_1'^2=m\cdot g\cdot h_1'\iff h_1'=\frac{v_1'^2}{2\cdot g}=0.0022\,\mathrm m=0.22\,\mathrm{cm}</math>

<math>\frac12\cdot m\cdot v_2'^2=m\cdot g\cdot h_2'\iff h_2'=\frac{v_2'^2}{2\cdot g}=0.036\,\mathrm m=3.6\,\mathrm{cm}</math>