Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen
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Das ''Gleichsetzungsverfahren'' hat als Grundidee dieselbe wie die [[M:Lineare Gleichungssystteme#grafische Lösung|grafische Lösung]]. Anstatt die beiden Geraden zu zeichnen und danach zeichnerisch den Schnittpunkt herauszufinden wollen wir diesen Schnittpunkt hier berechnen. | Das ''Gleichsetzungsverfahren'' hat als Grundidee dieselbe wie die [[M:Lineare Gleichungssystteme#grafische Lösung|grafische Lösung]]. Anstatt die beiden Geraden zu zeichnen und danach zeichnerisch den Schnittpunkt herauszufinden wollen wir diesen Schnittpunkt hier berechnen. | ||
| − | Den Schnittpunkt zweier Geraden können wir durch ''Gleichsetzen'' berechnen, dafür müssen wir wie oben die beiden Gleichungen nach <math>y</math> umstellen:<math>\begin{matrix} | + | Den Schnittpunkt zweier Geraden können wir durch ''Gleichsetzen'' berechnen, dafür müssen wir wie oben die beiden Gleichungen nach <math>y</math> umstellen: |
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y & = & -5x & + & 21\\ | y & = & -5x & + & 21\\ | ||
y & = & -2x & + & 9 | y & = & -2x & + & 9 | ||
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| − | Aus der Tatsache, dass natürlich <math>y=y</math> ist, muss dementsprechend auch <math>-5x+21 = -2x+9</math> gelten. Diese Gleichung können wir lösen:<math>\begin{matrix} | + | Aus der Tatsache, dass natürlich <math>y=y</math> ist, muss dementsprechend auch <math>-5x+21 = -2x+9</math> gelten. Diese Gleichung können wir lösen: |
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-5x & + & 21 & = & -2x & + & 9 & \mid & +5x \\ | -5x & + & 21 & = & -2x & + & 9 & \mid & +5x \\ | ||
& & 21 & = & 3x & + & 9 & \mid & -9 \\ | & & 21 & = & 3x & + & 9 & \mid & -9 \\ | ||
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\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
| − | Um die zweite Unbekannte <math>y</math> zu berechnen setzen wir den eben berechneten <math>x</math>-Wert in eine der beiden Gleichungen ein, beispielsweise in die erste Gleichung:<math>\begin{matrix} | + | Um die zweite Unbekannte <math>y</math> zu berechnen setzen wir den eben berechneten <math>x</math>-Wert in eine der beiden Gleichungen ein, beispielsweise in die erste Gleichung: |
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y & = & -5x & + & 21 \\ | y & = & -5x & + & 21 \\ | ||
y & = & -5\cdot(4) & + & 21 \\ | y & = & -5\cdot(4) & + & 21 \\ | ||
Version vom 5. Mai 2015, 09:55 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Vorwissen
lineare Gleichungen, Äquivalenzumformungen
Grundproblem
Eine Gleichung mit nur einer Unbekannten können wir direkt lösen indem wir diese durch Äquivalenzumformungen umstellen. Sobald wir allerdings zwei oder mehr Unbekannte darin haben können wir diese nicht mehr direkt bestimmen.
Einstiegsproblem
von http://www.schule-studium.de/Mathe/Textaufgaben-Lineare-Gleichungssysteme.html
Herr Agricola hat einen kleinen landwirtschafltichen Betrieb mit Hühnern und Schweinen. Nach der Anzahl seiner Tiere gefragt, antwortet er: "Den Hund und die Katze mitgezählt, haben alle Tiere zusammen 89 Köpfe und 206 Beine."
Wie viele Hühner und Schweine hat Herr Agricola also?
Lineare Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.
vlg. http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem
Beispiel
Wir haben die zwei Unbekannten 
und 
und die dazugehörigen Gleichungen
Wie müssen wir und wählen, so dass beide Gleichungen stimmen?
Lösungsverfahren
grafische Lösung
Jede Gleichung mit zwei Unbekannten lässt sich durch Umformung als lineare Funktion in einem Schaubild darstellen.
Zur grafischen Lösung des Linearen Gleichungssystems (LGS) müssen wir deshalb:
- zuerst die beiden Gleichungen nach auflösen/umformen
- die Schaubilder zeichnen
- grafisch den Schnittpunkt finden
- dessen Koordinaten ist die Lösung des LGS
Zusammenfassung
- 1. Erste Gleichung nach umstellen
-
- 2. Zweite Gleichung nach umstellen
-
- 3. Beide Gleichungen sind lineare Gleichungen
- diese in ein Schaubild zeichnen
- 4. Den Schnittpunkt sehen wir bei
-
- 5. Lösung des Gleichungssystems
-
und 
Einsetzungsverfahren
Im Gegensatz zur grafischen Lösung versuchen wir hier rein mathematisch durch Berechnung auf das Ergebnis zu kommen.
Das Ziel dabei ist es, die beiden Gleichungen auf eine Gleichung zu reduzieren, in welche nur noch eine Unbekannte steht. Hierfür lösen wir eine der beiden Gleichungen nach einer (geeigneten) Unbekannten um. Im Beispiel stellen wir die erste Gleichung nach um:
Da wir nun wissen, dass identisch ist zu 
können wir eben dieses in der zweiten Gleichung ersetzen und erhalten damit die Gleichung 
. Nicht vergessen dürfen wir hier die Klammern!
Wir haben durch Umformen und Einsetzen also eine Gleichung erhalten, in der wir nur noch eine Unbekannte haben. Diese können wir dann durch Äquivalenzumformungen lösen:
Wir haben somit den Wert für gefunden.
Um den noch fehlenden Wert für berechnen zu können nehmen wir die oben umgestellte Gleichung und setzen den eben erhaltenen Wert von ein:
Somit haben wir auch über dieses Verfahren die Werte für und gefunden.
Zusammenfassung
- 1. Eine der Gleichungen umformen
-
- 2. Das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen
-
- 3. Auflösen liefert Ergebnis für die erste Unbekannte
-
- 4. In die zuerst umgeformte Gleichung einsetzen
-
- 5. Auflösen liefert Ergebnis für die zweite Unbekannte
-
Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren hat als Grundidee dieselbe wie die grafische Lösung. Anstatt die beiden Geraden zu zeichnen und danach zeichnerisch den Schnittpunkt herauszufinden wollen wir diesen Schnittpunkt hier berechnen.
Den Schnittpunkt zweier Geraden können wir durch Gleichsetzen berechnen, dafür müssen wir wie oben die beiden Gleichungen nach umstellen:
Aus der Tatsache, dass natürlich 
ist, muss dementsprechend auch 
gelten. Diese Gleichung können wir lösen:
Um die zweite Unbekannte zu berechnen setzen wir den eben berechneten -Wert in eine der beiden Gleichungen ein, beispielsweise in die erste Gleichung:
In welche der beiden Gleichungen wir den -Wert einsetzen spielt keine Rolle, denn dadurch dass wir anfangs beide Gleichungen gleichgesetzt haben liefern auch beide Gleichungen den selben Wert.
Zusammenfassung
- 1. Erste Gleichung nach umstellen
-
- 2. Zweite Gleichung nach umstellen
-
- 3. Gleichsetzen
-
- 4. Auflösen liefert Ergebnis für die erste Unbekannte
-
- 5. Einsetzen in eine der zuerst umgeformten Gleichungen
-
- 6. Auflösen liefert Ergebnis für die zweite Unbekannte
-
