Lineare Gleichungen
Inhaltsverzeichnis
Vorwissen
Gleichungen
Viele Probleme des Alltags können mathematisch in einer Gleichung beschrieben und gelöst werden. Die wohl bekannteste Gleichung ist von Einstein: 
.
Gleichungen geben eine Beziehung zwischen zwei Termen an, und zwar dahingehend, dass die Terme auf beiden Seiten des Gleichzeichens den gleichen Wert annehmen.
Grundproblem
Gleichungen können wir dazu benutzen, um Lösungen für unbekannte Werte zu bestimmen. Als einfaches Beispiel betrachten wir die Gleichung
Welchen Wert müssen wir für 
einsetzen, damit die Gleichung stimmt?
Einfaches Beispiel mit Wertetabelle
Den richtigen Wert für können durch ausprobieren herausfinden. Hierfür verwenden wir für den Term auf der linken Seite eine Wertetabelle:
| |
linke Seite |
rechte Seite
|
|---|---|---|
| 0 | 5 | 11 |
| 1 | 7 | 11 |
| 2 | 9 | 11 |
| 3 | 11 | 11 |
| 4 | 13 | 11 |
| 5 | 15 | 11 |
| 6 | 17 | 11 |
Wie wir jetzt in der Tabelle ablesen können, stimmen der Term (linke Seite) und der Term (rechte Seite) gerade dann überein, wenn wir für den Wert 
einsetzen. Die Lösungsmenge der Gleichung ist also
komplexeres Beispiel mit Wertetabelle
Auch Lösungen für komplexere Gleichungen, in denen die Variable auf beiden Seiten vorkommt, können wir mit einer Wertetabelle lösen. Betrachten wir hierfür die Gleichung
Wir stellen wieder die Wertetabelle auf:
| |
linke Seite |
rechte Seite
|
|---|---|---|
| 0 | 2 | 6 |
| 1 | 5 | 8 |
| 2 | 8 | 10 |
| 3 | 11 | 12 |
| 4 | 14 | 14 |
| 5 | 17 | 16 |
| 6 | 20 | 18 |
Die Gleichheit beider Seiten ist also gerade dann erfüllt, wenn wir für 
den Wert 
einsetzen, Die Lösungsmenge ist also:
Äquivalenzumformungen
Das Lösen von Gleichungen mithilfe einer Wertetabelle funktioniert nur dann gut, wenn die Lösung ganzzahlig und recht klein ist. Anderenfalls ist dieser Lösungsweg sehr aufwändig. Besser wäre es, wenn wir die Lösung einer Gleichung direkt berechnen könnten.
Das Waagemodell
Wir können uns eine Gleichung als Balkenwaage vorstellen. Damit diese ausgeglichen ist, müssen die Gegenstände auf beiden Seiten gleich schwer sein. Verändern wir etwas auf einer Seite, so müssen wir dieselbe Änderung auch auf der anderen Seite durchführen damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.
Wir können beispielsweise auf beiden Seiten jeweils 1kg mehr dazu legen oder wegnehmen, dann bleibt die Waage trotzdem im Gleichgewicht.
Genauso können wir auch mit einer Gleichung verfahren: da wir wissen, dass die Terme auf beiden Seiten gleich sind bzw. das Gleiche beinhalten ist unsere "Gleichungswaage" ausgeglichen. Wir können jetzt auf beiden Seiten jeweils einen Wert hinzufügen (addieren) oder wegnehmen (subtrahieren) so dass die neue Gleichung äquivalent zur alten ist.
Äquivalent kommt aus dem lateinischen und setzt sich aus den Teilwörtern aequus (gleich) und valens (wertig) zusammen, und bedeutet also gleichwertig. Gleichwertige Gleichungen sind solche, die die selbe Lösungsmenge besitzen.
Addieren oder subtrahieren wir auf beiden Seiten den selben Wert, so ändert sich die Lösungsmenge nicht, die beiden Gleichungen sind also äquivalent. Man nennt so eine Umformung deshalb auch Äquivalenzumformung.
Beispiel mit Addition/Subtraktion
Wir betrachten die Gleichung 
Subtrahieren wir auf beiden Seiten jeweils den Wert 
so bekommen wir:
Die Lösungsmenge der Gleichung ist also
Hinweis: im Unterschied zu einer Waage, können in einer Gleichung auch negative Werte auftreten!
formelles
Um darzustellen, welche Umformung man zum nächsten Schritt durchführt gibt man hinter der Gleichung die jeweilige Aktion an. Vor die umgeformte Gleichung schreiben wir einen Aquivalenzpfeil 
um anzugeben, dass diese beiden Gleichungen äquivalent sind.
Vervielfachung
Neben dem Hinzufügen bzw. Wegnehmen von einem bestimmten Wert auf beiden Seiten, können wir das jeweilige Gewicht auf den beiden Seiten auch vervielfachen. Auch diese Tatsache wird anhand vom Waagenmodell sehr schnell klar: ist die Waage im Gleichgewicht, so sind also beide Seiten gleich schwer. Stellen wir auf beide Seiten der Waage nochmal das gleiche Gewicht so ändert sich die Waage nicht. Gleiches gilt auch umgekehrt, wenn wir das Gewicht auf beiden Seiten z.B. halbieren.
Mathematisch betrachtet können wir also beide Seiten mit dem selben Faktor multiplizieren, bzw. dividieren. Auch diese Umformung ist eine Äquivalenzumformung.
Beispiel mit Multiplikation/Division
Wir suchen die Lösung der Gleichung 
.
Dividieren wir beide Seiten durch so erhalten wir:
Die Lösungsmenge der Gleichung ist also
Wichtig: bei der Multiplikation bzw. Division ist es wichtig, die Klammern nicht zu vergessen! Im Beispiel würde es keinen Unterschied machen, jedoch werden wir im nächsten Abschnitt sehen, warum diese Klammern wichtig sind.
Beispiel für komplexere Gleichungen - Teil 1
Die meisten Gleichungen die wir haben können wir nicht nur durch Addition/Subtraktion oder Multiplikation/Division lösen, sondern müssen mehrere Schritte dafür berechnen. Wir schauen uns dazu noch einmal die erste Gleichung an.
Überlegen wir zunächst, welches Ziel wir haben: Wir möchten den Wert für berechnen, für den die Gleichung "stimmt" (d.h. auf beiden Seiten der selbe Wert stehen bleibt). Gesucht ist also eine Gleichung 
.
Wir müssen also unsere Ausgangsgleichung durch Äquivalenzumfomungen schrittweise so umformen, dass am Ende auf der linken Seite nur noch und auf der rechten Seite eine Zahl (ohne ) stehen bleibt. Durch die vier Grundrechenarten können wir diese Gleichung schritt für Schritt umformen, wichtig hierbei ist nur, dass sämtliche Änderungen bzw. Rechenschritte auf beiden Seiten durchgeführt werden!
Erste Möglichkeit
Die erste Möglichkeit besteht darin, zuerst den Vorfaktor vor dem wegzubekommen. Hierfür müssen wir durch diesen Vorfaktor dividieren:
Hierbei sieht man auch, warum die Klammern wichtig sind, denn um die Klammern aufzulösen müssen wir das Distributivgesetz anwenden.
Im zweiten Schritt subtrahieren wir noch den zusätzlichen Wert, damit anschließend auf der linken Seite nur noch stehen bleibt:
Die Lösungsmenge ist also .
Zweite Möglichkeit
Bei der zweiten Möglichkeit bringen wir zuerst durch Subtraktion die Gleichungen auf eine Form, in welcher auf der linken Seite nur noch Terme mit und auf der rechten Seite alle Terme ohne stehen bleiben:
Jetzt können wir im zweiten Schritt berechnen:
Wir erhalten als Lösungsmenge also ebenfalls .
Fazit
Welcher von den beiden Lösungswegen wir benutzen spielt für das Ergebnis keine Rolle. Oft (aber nicht immer) ist es einfacher, wenn wir die zweite Möglichkeit benutzen, d.h. zuerst die Gleichung zu "sortieren": alle Teile mit auf die linke Seite, alle Teile ohne auf die rechte Seite.
Beispiele für komplexere Gleichungen - Teil 2
Es kann auch vorkommen, dass in einer Gleichung die Unbekannte sogar auf beiden Seiten mit dabei steht. Neben einfachen Zahlen können wir auch die Variablen (wieder auf beiden Seiten der Gleichung) addieren bzw. subtrahieren, nicht jedoch multiplizieren/dividieren!
So können wir auch das obere "komplexere Beispiel mit Wertetabelle" berechnen:
Und haben damit die Lösung auch rechnerisch gefunden.
weitere Aufgaben
weitere Informationen
- Äquivalenzumformungen: [de.wikipedia.org/wiki/Äquivalenzumformung]
