Kongruenz
Inhaltsverzeichnis
Einführung
In dem (zugegebenermaßen schon älteren) Film [1] wird gezeigt, wie Fingerabdrücke miteinander verglichen werden.
Man vergleicht dabei Formen von einem unbekannten Fingerabdruck mit denen eines bekannten Fingerabdrucks.
Genau nach diesem Schema werden wir für einfachere Formen auch vorgehen.
Kongruenz
Wir nennen zwei Formen kongruent, wenn diese denkungsgleich sind (wie z.B. bei den Fingerabdrücken). Die Figuren können dabei auch gedreht oder gespiegelt sein.
Beispiele
Kongruente Formen
Im Bild rechts sind folgende Figuren zueinander kongruent:
- F1, F4, F6 und da man die Form auch spiegeln kann auch F5
- F3 und F7
- F2 ist zu keiner anderen Form kongruent
Feststellen der Kongruenz
Die Kongruenz zwischen Figuren können wir auf 3 Arten bestimmen:
- Wir schneiden die Formen aus und überprüfen, welche sich exakt übereinander legen lassen.
- Wir malen die Umrisse der Formen auf Transparentfolie ab und überprüfen damit die anderen Formen.
- Wir überprüfen alle Winkel und Seiten, ob diese gleich groß und in der gleichen Reihenfolge in den Formen existieren.
Die ersten beiden Möglichkeiten sind im Normalfall recht aufwändig und ungenau. Wir werden uns deshalb die dritte Möglichkeit näher anschauen.
Seiten und Winkel überprüfen
Kongruente Formen, die in sämtlichen Seiten und Winkeln übereinstimmen
Wenn wir sämtliche Seitenlängen und Winkel der nebenstehenden Figuren messen und vergleichen, so stellen wir fest, dass diese in allen 3 Formen übereinstimmen. Lediglich die ist bei Figur 3 die Reihenfolge "gedreht" und somit die Form gespiegelt.
Formal müssen wir also bei einem Winkel beginnen und dann reihum um die Form wandern und dabei unsere Werte notieren. Z.B. ergibt sich dabei für die Form 
wenn wir beim Winkel 
beginnen (W bedeutet dabei einen Winkel, S eine Seitenlänge)
- W(63,43) - S(4) - W(33,69) - S(3,61) - W(82,87) - S(2,24)
Um die anderen Formen zu überprüfen suchen wir darin ebenfalls wieder den ersten Winkel von 
und kontrollieren dann, ob wir obige Reihenfolge in dieser Form wiederfinden. Dabei spielt es keine Rolle, in welche Richtung wir von dem Anfangswinkel ausgehen!
Konstruktion von kongruenten Formen
Aufgabenstellung: im oberen Teil soll eine zum Viereck
kongruente Form gebildet werden.
1. Möglichkeit
2. Möglichkeit
Ähnlich verhält es sich bei der Konstruktion von kongruenten Formen.
Hierzu stellen wir zunächst wieder eine Reihenfolge der ursprünglichen Form auf (wir beginnen bei ):
- W(90) - S(3) - W(153.43) - S(4.47) - W(34.7) - S(7.07) - W(81.87) - S(3)
Im nächsten Schritt suchen wir bereits vorhandene Übereinstimmungen im Anfang der neuen Form. Hier finden wir die Übereinstimmung W(90) - S(3). Diese Übereinstimmung finden wir, ausgehend vom Winkel 
sowohl im Uhrzeigersinn, als auch gegen den Uhrzeigersinn. Es gibt also mehrere Lösungen um die kongruente Form zu konstruieren.
Bei der ersten Möglichkeit zeichnen wir den nächsten Winkel von 
am Punkt F. und von dort eine Strecke von 
. Bei der zweiten Möglichkeit zeichnen wir den Winkel von am Punkt G.
