Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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== Vorwissen ==
 
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== Grundproblem ==
 
== Grundproblem ==
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Eine Gleichung mit nur einer Unbekannten können wir direkt lösen indem wir diese durch [[M:Äquivalenzumformungen|Äquivalenzumformungen]] umstellen. Sobald  wir allerdings zwei oder mehr Unbekannte darin haben können wir diese nicht mehr direkt bestimmen.
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Eine Gleichung mit nur einer Unbekannten können wir direkt lösen indem wir diese durch [[Äquivalenzumformungen]] umstellen. Sobald  wir allerdings zwei oder mehr Unbekannte darin haben können wir diese nicht mehr direkt bestimmen.
  
 
== Einstiegsproblem ==
 
== Einstiegsproblem ==
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== Lineare Gleichungssysteme ==
 
== Lineare Gleichungssysteme ==
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Ein ''lineares Gleichungssystem'' ist eine Menge von [[M:lineare Gleichungen|linearen Gleichungen]] mit mehreren Unbekannten die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.
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Ein ''lineares Gleichungssystem'' ist eine Menge von [[linearen Gleichungen]] mit mehreren Unbekannten die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.
  
 
vlg. http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem
 
vlg. http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem
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== Beispiel ==
 
== Beispiel ==
 
Wir haben die zwei Unbekannten <math>x</math> und <math>y</math> und die dazugehörigen Gleichungen
 
Wir haben die zwei Unbekannten <math>x</math> und <math>y</math> und die dazugehörigen Gleichungen
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:<math>\begin{matrix}
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5x & + & 1y & = & 21\\
 
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4x & + & 2y & = & 18
 
4x & + & 2y & = & 18
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;Erste Gleichung nach <math>y</math> umstellen : <math>y=-5x+21</math>
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==== warum ist der Schnittpunkt eine Lösung? ====
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;Zweite Gleichung nach <math>y</math> umstellen : <math>y=-2x+9</math>
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Wir suchen für die Lösung ein Wertepaar <math>x,y</math> für das beide Gleichungen richtig sind. Betrachtet man das Problem grafisch, so suchen wir hier einen Punkt mit den Koordinaten <math>(x\mid y)</math>. Da bei der Lösung beide Gleichungen erfüllt sind, muss dieser Punkt auch auf beiden Geraden liegen. Wir bekommen deshalb als Lösung des LGS den Schnittpunkt der beiden Geraden.
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;Schnittpunkt bei : <math>A(4/1)</math>
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;Lösung des Gleichungssystems : <math>x=4</math> und <math>y=1</math>
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==== Zusammenfassung ====
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#Erste Gleichung nach <math>y</math> umstellen:<br><math>y=-5x+21</math>
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#Zweite Gleichung nach <math>y</math> umstellen:<br><math>y=-2x+9</math>
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#Beide Gleichungen sind [[lineare Gleichungen]]:<br>diese in ein Schaubild zeichnen
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#Den Schnittpunkt sehen wir bei:<br><math>A(4/1)</math>
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#Lösung des Gleichungssystems:<br><math>x=4</math> und <math>y=1</math>
  
  
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Im Gegensatz zur grafischen Lösung versuchen wir hier rein mathematisch durch Berechnung auf das Ergebnis zu kommen.
 
Im Gegensatz zur grafischen Lösung versuchen wir hier rein mathematisch durch Berechnung auf das Ergebnis zu kommen.
  
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Das Ziel dabei ist es, die beiden Gleichungen auf eine Gleichung zu reduzieren, in welche nur noch eine Unbekannte steht. Hierfür lösen wir eine Gleichung nach einer (geeigneten) Unbekannten um. Im Beispiel stellen wir die erste Gleichung nach <math>y</math> um:
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Das Ziel dabei ist es, die beiden Gleichungen auf eine Gleichung zu reduzieren, in welche nur noch eine Unbekannte steht. Hierfür lösen wir eine der beiden Gleichungen nach einer (geeigneten) Unbekannten um. Im Beispiel stellen wir die erste Gleichung nach <math>y</math> um:
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:<math>\begin{matrix}
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<math>\begin{matrix}
 
y & = & -5x & + & 21\\
 
y & = & -5x & + & 21\\
 
4x & + & 2y & = & 18
 
4x & + & 2y & = & 18
 
\end{matrix}</math>
 
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Da wir nun wissen, dass <math>y</math> identisch ist zu <math>-5x + 21</math> können wir eben dieses <math>y</math> in der zweiten Gleichung ersetzen und erhalten damit die Gleichung <math>4x + 2\cdot(-5x+21) = 18</math>. Nicht vergessen dürfen wir hier die Klammern!
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Wir haben durch Umformen und Einsetzen also eine Gleichung erhalten, in der wir nur noch eine Unbekannte <math>x</math> haben. Diese können wir dann durch [[Äquivalenzumformungen]] lösen:
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<math>\begin{matrix}
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&4x & + & 2\cdot(-5x+21) & = & 18 & \mid & \text{Klammer auflösen}\\
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\iff&4x & - & 10x + 42 & = & 18 & \mid &-42\\
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\iff&-6x & & & = & -24 & \mid &\div-6 \\
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\iff&x & & & = & 4
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\end{matrix}</math>
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Wir haben somit den Wert für <math>x</math> gefunden.
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Um den noch fehlenden Wert für <math>y</math> berechnen zu können nehmen wir die oben umgestellte Gleichung <math>y = -5x + 21</math> und setzen den eben erhaltenen Wert von <math>x</math> ein:
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<math>\begin{matrix}
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&y & = & -5x & + & 21 & \mid & x=4\\
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\iff&y & = & -5\cdot(4) & + & 21 \\
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\iff&y & = & -20 & + & 21 \\
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\iff&y & = & 1
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\end{matrix}</math>
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Somit haben wir auch über dieses Verfahren die Werte für <math>x</math> und <math>y</math> gefunden.
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==== Zusammenfassung ====
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#Eine der Gleichungen umformen:<br><math>y=-5x+21</math>
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#Das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen:<br><math>4x + 2\cdot(-5x+21) = 18</math>
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#Auflösen liefert Ergebnis für die erste Unbekannte:<br><math>x = 4</math>
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#In die zuerst umgeformte Gleichung einsetzen:<br><math>y=-5\cdot(4)+21</math>
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#Auflösen liefert Ergebnis für die zweite Unbekannte:<br><math>y=1</math>
  
 
=== Gleichsetzungsverfahren ===
 
=== Gleichsetzungsverfahren ===
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Das ''Gleichsetzungsverfahren'' hat als Grundidee dieselbe wie die [[Lineare Gleichungssysteme#grafische Lösung|grafische Lösung]]. Anstatt die beiden Geraden zu zeichnen und danach zeichnerisch den Schnittpunkt herauszufinden wollen wir diesen Schnittpunkt hier berechnen.
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Den Schnittpunkt zweier Geraden können wir durch ''Gleichsetzen'' berechnen, dafür müssen wir wie oben die beiden Gleichungen nach <math>y</math> umstellen:
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<math>\begin{matrix}
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y & = & -5x & + & 21\\
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y & = & -2x & + & 9
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\end{matrix}</math>
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Aus der Tatsache, dass natürlich <math>y=y</math> ist, muss dementsprechend auch <math>-5x+21 = -2x+9</math> gelten. Diese Gleichung können wir lösen:
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<math>\begin{matrix}
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&-5x & + & 21 & = & -2x & + & 9 & \mid & +5x \\
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\iff& & & 21 & = & 3x & + & 9 & \mid & -9 \\
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\iff& & & 12 & = & 3x & & & \mid & \div 3 \\
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\iff& & & 4 & = & x
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\end{matrix}</math>
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Um die zweite Unbekannte <math>y</math> zu berechnen setzen wir den eben berechneten <math>x</math>-Wert in eine der beiden Gleichungen ein, beispielsweise in die erste Gleichung:
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<math>\begin{matrix}
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&y & = & -5x & + & 21 &\mid& x=4\\
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\iff&y & = & -5\cdot(4) & + & 21 \\
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\iff&y & = & 1
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\end{matrix}</math>
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In welche der beiden Gleichungen wir den <math>x</math>-Wert einsetzen spielt keine Rolle, denn dadurch dass wir anfangs beide Gleichungen gleichgesetzt haben liefern auch beide Gleichungen den selben Wert.
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==== Zusammenfassung ====
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#Erste Gleichung nach <math>y</math> umstellen:<br><math>y=-5x+21</math>
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#Zweite Gleichung nach <math>y</math> umstellen:<br><math>y=-2x+9</math>
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#Gleichsetzen:<br><math>-5x+21 = -2x+9</math>
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#Auflösen liefert Ergebnis für die erste Unbekannte:<br><math>x = 4</math>
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#Einsetzen in eine der zuerst umgeformten Gleichungen:<br><math>y=-5\cdot(4)+21</math>
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#Auflösen liefert Ergebnis für die zweite Unbekannte:<br><math>y=1</math>
  
 
=== Additionsverfahren ===
 
=== Additionsverfahren ===
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Beim ''Additionsverfahren'' versucht man, die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren. Um das zu erreichen muss man die Gleichungen geschickt zueinander addieren.
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Im ersten Schritt schreibt man die Gleichungen so untereinander (und formt die gegebenenfalls um), dass gleiche Unbekannte untereinander stehen:
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<math>\begin{matrix}
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(I) & 5x & + & 1y & = & 21\\
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(II) & 4x & + & 2y & = & 18
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\end{matrix}</math>
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Wir dürfen nun folgende Veränderungen an diesen Gleichungen machen:
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# Multiplikation einer einzelnen Zeile mit einem Faktor
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# Addition zweier Zeilen
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==== Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor ====
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Eine Gleichung können wir mit einem Faktor multiplizieren indem wir jeden einzelnen Term (jeder Summand) mit diesem Multiplizieren. Beispielsweise können wir die erste Gleichung <math>(I)</math> mit <math>-2</math> multiplizieren und nennen diese <math>(I')</math>
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<math>\begin{matrix}
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& & 5x & + & 1y & = & 21 & \mid & \cdot (-2)\\
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& \iff & (-2)\cdot 5x & + & (-2)\cdot1y & = & (-2)\cdot 21\\
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(I') & \iff & -10x & - & 2y & = & -42
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\end{matrix}</math>
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==== Addition zweier Gleichungen ====
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Nun schreiben wir wieder beide Gleichungen untereinander:
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<math>\begin{matrix}
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(I') & -10x & - & 2y & = & -42 \\
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(II) & 4x & + & 2y & = & 18
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\end{matrix}</math>
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Wir können nun die beiden Gleichungen <math>(I')</math> und <math>(II)</math> addieren und erhalten dann eine neue Gleichung <math>(I')+(II)=(III)</math>:
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<math>\begin{matrix}
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(I') & -10x & - & 2y & = & -42 \\
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(II) & 4x & + & 2y & = & 18 \\
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(I')+(II)=(III) & (-10x)+(4x) & + & (-2y)+(2y) & = & (-42)+(18) \\
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\iff & -6x & + & 0y & = & -24
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\end{matrix}</math>
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==== Lösen der erhaltenen Gleichung ====
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Nach diesem Schritt sehen wir, dass die Unbekannte <math>y</math> nicht mehr in dieser Gleichung vorkommt. Man sagt deshalb, wir haben die Unbekannte <math>y</math> ''eliminiert''. Also kann diese Gleichung nun gelöst, und somit der Wert für <math>x</math> gefunden werden:
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<math>\begin{matrix}
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& -6x & + & 0y & = & -24 & \mid & \div -6\\
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\iff & x &&&=&4
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\end{matrix}</math>
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==== Berechnen der noch fehlenden Unbekannten ====
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Damit wir abschließend auch noch den Wert für <math>y</math> bekommen müssen wir lediglich den erhaltenen Wert für <math>x</math> in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen:
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<math>\begin{matrix}
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(I) & 5x & + & y & = & 21 & \mid & x=4 \\
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\iff & 5\cdot 4 & + & y & = & 21 \\
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\iff & 20 & + & y & = & 21 & \mid & -20 \\
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\iff & & & y & = & 1
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\end{matrix}</math>
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==== Finden der Faktoren für die Multiplikation ====
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Damit bei der Addition zweier Gleichungen eine Unbekannte aus der Gleichung entfällt müssen die Vorfaktoren bis auf das Vorzeichen identisch sein. Um dies zu erreichen müssen wir eine (oder auch beide) Gleichung zuerst mit dem richtigen Faktor multiplizieren. Diesen finden wir mit dem [[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinsten gemeinsamen Vielfachen]] der beiden Vorfaktoren. Außerdem müssen wir noch beachten dass in einer Zeile ein positives un in der anderen Zeile ein negatives Vorzeichen dabei steht.
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Im obigen Beispiel
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<math>\begin{matrix}
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(I) & 5x & + & 1y & = & 21\\
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(II) & 4x & + & 2y & = & 18
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\end{matrix}</math>
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sehen wir von <math>y</math> die beiden Vorfaktoren <math>1</math> und <math>2</math>. Das [[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]] von diesen beiden ist <math>kgV(1,2)=2</math>. Wir müssen also wie oben die erste Gleichung mit <math>-2</math> multiplizieren.
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Wollen wir stattdessen zuerst die Unbekannte <math>x</math> ''entfernen'', dann gilt <math>kgV(5,4)=20</math>. Um in der Gleichung <math>(I)</math> auf den Vorfaktor <math>20</math> zu kommen müssten wir diese mit <math>4</math> multiplizieren. Außerdem müssten wir zusätzlich noch die Gleichung <math>(II)</math> mit <math>-5</math> multiplizieren.
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Mit dieser Methode können wir uns also aussuchen, welchen Wert wir zuerst berechnen wollen. Um die Rechnung möglichst einfach zu machen suchen wir uns die Vorfaktoren, bei denen wir ''einfache'' Rechnungen (d.h. möglichst kleine) Zahlen bekommen.
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==== Zusammenfassung ====
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#Finden der Multiplikatoren<br>um einen gleichen Vorfaktor zu bekommen
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#Multiplikation der Gleichung(en)<br>um einen gleichen Vorfaktor zu bekommen
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#Addition der beiden Gleichungen<br>um eine Unbekannte zu ''eliminieren''
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#Lösen der Gleichung<br>ergibt den Wert für die erste Unbekannte
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#Einsetzen in die urprüngliche Gleichung
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#Lösen der Gleichung<br>ergibt den Wert für die zweite Unbekannte
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== weitere Aufgaben ==
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http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Gleichungssysteme/Aufgabensammlung.htm
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== weitere Informationen ==
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* Lineare Gleichungssysteme: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem
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* Einsetzungsverfahren: http://de.wikipedia.org/wiki/Einsetzungsverfahren
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* Gleichsetzungsverfahren: http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichsetzungsverfahren
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* Additionsverfahren: http://www.mathematik-wissen.de/additionsverfahren.htm

Aktuelle Version vom 13. Mai 2015, 15:57 Uhr


Vorwissen

lineare Gleichungen, Äquivalenzumformungen

Grundproblem

Eine Gleichung mit nur einer Unbekannten können wir direkt lösen indem wir diese durch Äquivalenzumformungen umstellen. Sobald wir allerdings zwei oder mehr Unbekannte darin haben können wir diese nicht mehr direkt bestimmen.

Einstiegsproblem

von http://www.schule-studium.de/Mathe/Textaufgaben-Lineare-Gleichungssysteme.html

Herr Agricola hat einen kleinen landwirtschafltichen Betrieb mit Hühnern und Schweinen. Nach der Anzahl seiner Tiere gefragt, antwortet er: "Den Hund und die Katze mitgezählt, haben alle Tiere zusammen 89 Köpfe und 206 Beine."

Wie viele Hühner und Schweine hat Herr Agricola also?

Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.

vlg. http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem

Beispiel

Wir haben die zwei Unbekannten und und die dazugehörigen Gleichungen

Wie müssen wir und wählen, so dass beide Gleichungen stimmen?

Lösungsverfahren

grafische Lösung

Jede Gleichung mit zwei Unbekannten lässt sich durch Umformung als lineare Funktion in einem Schaubild darstellen.

Zur grafischen Lösung des Linearen Gleichungssystems (LGS) müssen wir deshalb:

  1. zuerst die beiden Gleichungen nach auflösen/umformen
  2. die Schaubilder zeichnen
  3. grafisch den Schnittpunkt finden
  4. dessen Koordinaten ist die Lösung des LGS

warum ist der Schnittpunkt eine Lösung?

Wir suchen für die Lösung ein Wertepaar für das beide Gleichungen richtig sind. Betrachtet man das Problem grafisch, so suchen wir hier einen Punkt mit den Koordinaten . Da bei der Lösung beide Gleichungen erfüllt sind, muss dieser Punkt auch auf beiden Geraden liegen. Wir bekommen deshalb als Lösung des LGS den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Zusammenfassung

  1. Erste Gleichung nach umstellen:
  2. Zweite Gleichung nach umstellen:
  3. Beide Gleichungen sind lineare Gleichungen:
    diese in ein Schaubild zeichnen
  4. Den Schnittpunkt sehen wir bei:
  5. Lösung des Gleichungssystems:
    und


Einsetzungsverfahren

Im Gegensatz zur grafischen Lösung versuchen wir hier rein mathematisch durch Berechnung auf das Ergebnis zu kommen.

Das Ziel dabei ist es, die beiden Gleichungen auf eine Gleichung zu reduzieren, in welche nur noch eine Unbekannte steht. Hierfür lösen wir eine der beiden Gleichungen nach einer (geeigneten) Unbekannten um. Im Beispiel stellen wir die erste Gleichung nach um:

Da wir nun wissen, dass identisch ist zu können wir eben dieses in der zweiten Gleichung ersetzen und erhalten damit die Gleichung . Nicht vergessen dürfen wir hier die Klammern!

Wir haben durch Umformen und Einsetzen also eine Gleichung erhalten, in der wir nur noch eine Unbekannte haben. Diese können wir dann durch Äquivalenzumformungen lösen:

Wir haben somit den Wert für gefunden.

Um den noch fehlenden Wert für berechnen zu können nehmen wir die oben umgestellte Gleichung und setzen den eben erhaltenen Wert von ein:

Somit haben wir auch über dieses Verfahren die Werte für und gefunden.

Zusammenfassung

  1. Eine der Gleichungen umformen:
  2. Das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen:
  3. Auflösen liefert Ergebnis für die erste Unbekannte:
  4. In die zuerst umgeformte Gleichung einsetzen:
  5. Auflösen liefert Ergebnis für die zweite Unbekannte:

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren hat als Grundidee dieselbe wie die grafische Lösung. Anstatt die beiden Geraden zu zeichnen und danach zeichnerisch den Schnittpunkt herauszufinden wollen wir diesen Schnittpunkt hier berechnen.

Den Schnittpunkt zweier Geraden können wir durch Gleichsetzen berechnen, dafür müssen wir wie oben die beiden Gleichungen nach umstellen:

Aus der Tatsache, dass natürlich ist, muss dementsprechend auch gelten. Diese Gleichung können wir lösen:

Um die zweite Unbekannte zu berechnen setzen wir den eben berechneten -Wert in eine der beiden Gleichungen ein, beispielsweise in die erste Gleichung:

In welche der beiden Gleichungen wir den -Wert einsetzen spielt keine Rolle, denn dadurch dass wir anfangs beide Gleichungen gleichgesetzt haben liefern auch beide Gleichungen den selben Wert.

Zusammenfassung

  1. Erste Gleichung nach umstellen:
  2. Zweite Gleichung nach umstellen:
  3. Gleichsetzen:
  4. Auflösen liefert Ergebnis für die erste Unbekannte:
  5. Einsetzen in eine der zuerst umgeformten Gleichungen:
  6. Auflösen liefert Ergebnis für die zweite Unbekannte:

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren versucht man, die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren. Um das zu erreichen muss man die Gleichungen geschickt zueinander addieren.

Im ersten Schritt schreibt man die Gleichungen so untereinander (und formt die gegebenenfalls um), dass gleiche Unbekannte untereinander stehen:

Wir dürfen nun folgende Veränderungen an diesen Gleichungen machen:

  1. Multiplikation einer einzelnen Zeile mit einem Faktor
  2. Addition zweier Zeilen

Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor

Eine Gleichung können wir mit einem Faktor multiplizieren indem wir jeden einzelnen Term (jeder Summand) mit diesem Multiplizieren. Beispielsweise können wir die erste Gleichung mit multiplizieren und nennen diese

Addition zweier Gleichungen

Nun schreiben wir wieder beide Gleichungen untereinander:

Wir können nun die beiden Gleichungen und addieren und erhalten dann eine neue Gleichung :

Lösen der erhaltenen Gleichung

Nach diesem Schritt sehen wir, dass die Unbekannte nicht mehr in dieser Gleichung vorkommt. Man sagt deshalb, wir haben die Unbekannte eliminiert. Also kann diese Gleichung nun gelöst, und somit der Wert für gefunden werden:

Berechnen der noch fehlenden Unbekannten

Damit wir abschließend auch noch den Wert für bekommen müssen wir lediglich den erhaltenen Wert für in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen:

Finden der Faktoren für die Multiplikation

Damit bei der Addition zweier Gleichungen eine Unbekannte aus der Gleichung entfällt müssen die Vorfaktoren bis auf das Vorzeichen identisch sein. Um dies zu erreichen müssen wir eine (oder auch beide) Gleichung zuerst mit dem richtigen Faktor multiplizieren. Diesen finden wir mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der beiden Vorfaktoren. Außerdem müssen wir noch beachten dass in einer Zeile ein positives un in der anderen Zeile ein negatives Vorzeichen dabei steht.

Im obigen Beispiel

sehen wir von die beiden Vorfaktoren und . Das kgV von diesen beiden ist . Wir müssen also wie oben die erste Gleichung mit multiplizieren.

Wollen wir stattdessen zuerst die Unbekannte entfernen, dann gilt . Um in der Gleichung auf den Vorfaktor zu kommen müssten wir diese mit multiplizieren. Außerdem müssten wir zusätzlich noch die Gleichung mit multiplizieren.

Mit dieser Methode können wir uns also aussuchen, welchen Wert wir zuerst berechnen wollen. Um die Rechnung möglichst einfach zu machen suchen wir uns die Vorfaktoren, bei denen wir einfache Rechnungen (d.h. möglichst kleine) Zahlen bekommen.

Zusammenfassung

  1. Finden der Multiplikatoren
    um einen gleichen Vorfaktor zu bekommen
  2. Multiplikation der Gleichung(en)
    um einen gleichen Vorfaktor zu bekommen
  3. Addition der beiden Gleichungen
    um eine Unbekannte zu eliminieren
  4. Lösen der Gleichung
    ergibt den Wert für die erste Unbekannte
  5. Einsetzen in die urprüngliche Gleichung
  6. Lösen der Gleichung
    ergibt den Wert für die zweite Unbekannte

weitere Aufgaben

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Gleichungssysteme/Aufgabensammlung.htm

weitere Informationen

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