Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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;Erste Gleichung nach <math>y</math> umstellen : <math>y=-5x+21</math>
 
;Erste Gleichung nach <math>y</math> umstellen : <math>y=-5x+21</math>
 
;Zweite Gleichung nach <math>y</math> umstellen : <math>y=-2x+9</math>
 
;Zweite Gleichung nach <math>y</math> umstellen : <math>y=-2x+9</math>
;Schnittpunkt bei : <math>A(4/1)</math>
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;Den Schnittpunkt sehen wir bei : <math>A(4/1)</math>
 
;Lösung des Gleichungssystems : <math>x=4</math> und <math>y=1</math>
 
;Lösung des Gleichungssystems : <math>x=4</math> und <math>y=1</math>
  

Version vom 5. Mai 2015, 07:45 Uhr

Vorwissen

lineare Gleichungen, Äquivalenzumformungen

Grundproblem

Eine Gleichung mit nur einer Unbekannten können wir direkt lösen indem wir diese durch Äquivalenzumformungen umstellen. Sobald wir allerdings zwei oder mehr Unbekannte darin haben können wir diese nicht mehr direkt bestimmen.

Einstiegsproblem

von http://www.schule-studium.de/Mathe/Textaufgaben-Lineare-Gleichungssysteme.html

Herr Agricola hat einen kleinen landwirtschafltichen Betrieb mit Hühnern und Schweinen. Nach der Anzahl seiner Tiere gefragt, antwortet er: "Den Hund und die Katze mitgezählt, haben alle Tiere zusammen 89 Köpfe und 206 Beine."

Wie viele Hühner und Schweine hat Herr Agricola also?

Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.

vlg. http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem

Beispiel

Wir haben die zwei Unbekannten und und die dazugehörigen Gleichungen

Wie müssen wir und wählen, so dass beide Gleichungen stimmen?

Lösungsverfahren

grafische Lösung

Jede Gleichung mit zwei Unbekannten lässt sich durch Umformung als lineare Funktion in einem Schaubild darstellen.

Zur grafischen Lösung des Linearen Gleichungssystems (LGS) müssen wir deshalb:

  1. zuerst die beiden Gleichungen nach auflösen/umformen
  2. die Schaubilder zeichnen
  3. grafisch den Schnittpunkt finden
  4. dessen Koordinaten ist die Lösung des LGS

Erste Gleichung nach umstellen 
Zweite Gleichung nach umstellen 
Den Schnittpunkt sehen wir bei 
Lösung des Gleichungssystems 
und


Einsetzungsverfahren

Im Gegensatz zur grafischen Lösung versuchen wir hier rein mathematisch durch Berechnung auf das Ergebnis zu kommen.

Das Ziel dabei ist es, die beiden Gleichungen auf eine Gleichung zu reduzieren, in welche nur noch eine Unbekannte steht. Hierfür lösen wir eine Gleichung nach einer (geeigneten) Unbekannten um. Im Beispiel stellen wir die erste Gleichung nach um:

Gleichsetzungsverfahren

Additionsverfahren