Lineare Gleichungssysteme

Vorwissen

lineare Gleichungen, Äquivalenzumformungen

Grundproblem

Eine Gleichung mit nur einer Unbekannten können wir direkt lösen indem wir diese durch Äquivalenzumformungen umstellen. Sobald wir allerdings zwei oder mehr Unbekannte darin haben können wir diese nicht mehr direkt bestimmen.

Einstiegsproblem

von http://www.schule-studium.de/Mathe/Textaufgaben-Lineare-Gleichungssysteme.html

Herr Agricola hat einen kleinen landwirtschafltichen Betrieb mit Hühnern und Schweinen. Nach der Anzahl seiner Tiere gefragt, antwortet er: "Den Hund und die Katze mitgezählt, haben alle Tiere zusammen 89 Köpfe und 206 Beine."

Wie viele Hühner und Schweine hat Herr Agricola also?

Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.

vlg. http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem

Beispiel

Wir haben die zwei Unbekannten und und die dazugehörigen Gleichungen

Wie müssen wir und wählen, so dass beide Gleichungen stimmen?

Lösungsverfahren

grafische Lösung

Jede Gleichung mit zwei Unbekannten lässt sich durch Umformung als lineare Funktion in einem Schaubild darstellen.

Zur grafischen Lösung des Linearen Gleichungssystems (LGS) müssen wir deshalb:

1. zuerst die beiden Gleichungen nach auflösen/umformen
2. die Schaubilder zeichnen
3. grafisch den Schnittpunkt finden
4. dessen Koordinaten ist die Lösung des LGS

Zusammenfassung

1. Erste Gleichung nach umstellen 

2. Zweite Gleichung nach umstellen 

3. Beide Gleichungen sind lineare Gleichungen 

diese in ein Schaubild zeichnen

4. Den Schnittpunkt sehen wir bei 

5. Lösung des Gleichungssystems 

und

Einsetzungsverfahren

Im Gegensatz zur grafischen Lösung versuchen wir hier rein mathematisch durch Berechnung auf das Ergebnis zu kommen.

Das Ziel dabei ist es, die beiden Gleichungen auf eine Gleichung zu reduzieren, in welche nur noch eine Unbekannte steht. Hierfür lösen wir eine der beiden Gleichungen nach einer (geeigneten) Unbekannten um. Im Beispiel stellen wir die erste Gleichung nach um:

Da wir nun wissen, dass identisch ist zu können wir eben dieses in der zweiten Gleichung ersetzen und erhalten damit die Gleichung . Nicht vergessen dürfen wir hier die Klammern!

Wir haben durch Umformen und Einsetzen also eine Gleichung erhalten, in der wir nur noch eine Unbekannte haben. Diese können wir dann durch Äquivalenzumformungen lösen:

Wir haben somit den Wert für gefunden.

Um den noch fehlenden Wert für berechnen zu können nehmen wir die oben umgestellte Gleichung und setzen den eben erhaltenen Wert von ein:

Somit haben wir auch über dieses Verfahren die Werte für und gefunden.

Zusammenfassung

1. Eine der Gleichungen umformen 

2. Das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen 

3. Auflösen liefert Ergebnis für die erste Unbekannte 

4. In die zuerst umgeformte Gleichung einsetzen 

5. Auflösen liefert Ergebnis für die zweite Unbekannte 

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren hat als Grundidee dieselbe wie die grafische Lösung. Anstatt die beiden Geraden zu zeichnen und danach zeichnerisch den Schnittpunkt herauszufinden wollen wir diesen Schnittpunkt hier berechnen.

Den Schnittpunkt zweier Geraden können wir durch Gleichsetzen berechnen, dafür müssen wir wie oben die beiden Gleichungen nach umstellen:

Aus der Tatsache, dass natürlich ist, muss dementsprechend auch gelten. Diese Gleichung können wir lösen:

Um die zweite Unbekannte zu berechnen setzen wir den eben berechneten -Wert in eine der beiden Gleichungen ein, beispielsweise in die erste Gleichung:

In welche der beiden Gleichungen wir den -Wert einsetzen spielt keine Rolle, denn dadurch dass wir anfangs beide Gleichungen gleichgesetzt haben liefern auch beide Gleichungen den selben Wert.

Zusammenfassung

1. Erste Gleichung nach umstellen 

2. Zweite Gleichung nach umstellen 

3. Gleichsetzen 

4. Auflösen liefert Ergebnis für die erste Unbekannte 

5. Einsetzen in eine der zuerst umgeformten Gleichungen 

6. Auflösen liefert Ergebnis für die zweite Unbekannte