Quelltext der Seite Abstand Punkt-Gerade

[[Category:Mathematik]]
[[Category:J1]]

== Vorwissen ==
[[Vektoren]], [[Skalarprodukt]], [[Geraden im Raum]], [[Ebenen im Raum]], [[Normalenvektor]], [[Schnittpunkt Gerade-Ebene]]

== Problem ==
Wir haben eine Gerade <math>g</math> im Raum und einen Punkt <math>R</math> welcher nicht auf der Geraden liegt. Wir können bisher noch keinen Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnen.

Beispielsweise spielt der Abstand bei Planung eines Flughafens eine Rolle, denn hier können die Bahnen der startenden und landenden Flugzeuge als Gerade angenähert werden. Dabei muss immer ein gewisser ''minimaler Sicherheitsabstand'' zu umliegenden Gebäuden eingehalten werden.

=== Erinnerung ===
In einer früheren Klasse wurde das Problem bereits im zweidimensionalen behandelt. Hier wurde der Abstand ''gemessen'' indem das Geodreieck orthogonal so auf die Gerade gelegt wurde dass der Punkt auf der Skala liegt. Dann konnte der Abstand '''rechtwinklig''' am Geodreieck abgelesen werden.

=== Animation ===
Um das Problem eines startenden Flugzeugs zu verdeutlichen gibt es folgende Animation. Das Flugzeug kann dabei an der unteren Ecke entlang der Geraden verschoben werden:

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Aufgrund der Problemstellung, dass ein '''minimaler''' Sicherheitsabstand eingehalten werden muss ergibt sich folgende Definition.

== Definition ==
Als Abstand zwischen einer Geraden <math>g</math> und einem Punkt <math>R</math> ist definiert als kleinstmöglicher Abstand zwischen diesen beiden.

=== formell ===
Eine Gerade ist definiert als Punktmenge (mit <math>\vec s</math>: Stützvektor und <math>\vec u</math>: Richtungsvektor, vgl. [[Geraden im Raum]]):

<math>g=\{P\in\R^2\ ;\ \vec p=\vec s+t\cdot\vec u\}</math>

dann gilt für den Abstand

<math>d(R;g):=\min\{d(R;P)\ ;\ P\in g\}</math>

=== Folgerung ===
Wie wir in der Animation auch anschaulich erkennen können, ist dieser minimale Abstand gerade dann gegeben, wenn der Verbindungsvektor <math>\vec{PR}</math> orthogonal zur Geraden, bzw. deren Richtungsvektor <math>\vec u</math> steht, d.h. das [[Skalarprodukt]] Null ergibt.

=== formeller Beweis ===
Diese Folgerung kann auch mathematisch mit dem Skalarprodukt bewiesen werden:

<math>|\vec{RP}|\text{ minimal}\iff\vec{RP}\perp\vec u</math>

Hier soll jedoch nur die <math>\Leftarrow</math>-Richtung gezeigt werden, welches der Behauptung entspricht: '''ist <math>\vec{RP}</math> orthogonal zu <math>\vec u</math>, dann ist <math>|\vec{RP}|</math> minimal.'''

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Wir wählen uns also den Punkt <math>L</math> gerade so, dass <math>\vec{RL}\perp\vec u</math> gilt. Zu zeigen ist nun, dass gerade der Abstand <math>|\vec{RL}|</math> der kürzestmögliche ist. Dazu wählen wir einen beliebigen Punkt <math>P</math> auf der Gerade und beweisen, dass <math>|\vec{RP}|</math> immer größer ist als <math>|\vec{RL}|</math> (für <math>P\neq L</math>).

Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass <math>\vec u</math> bereits ein [[Einheitsvektor]] ist (ansonsten können wir diesen zuerst normalisieren, da die Länge des Richtungsvektors für die Gerade keine Rolle spielt). Mit der formellen Definition des [[Skalarprodukt]]es wissen wir:

<math>\vec{RP}\cdot\vec u=|\vec{RP}|\cdot\underbrace{|\vec u|}_{=1}\cdot\cos(\alpha)</math>

Außerdem gilt

<math>\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\frac{|\vec{PL}|}{|\vec{RP}|}</math>

Durch Einsetzen erhalten wir:

<math>\vec{RP}\cdot\vec u=|\vec{PL}|</math>

Daraus können wir folgern: ist <math>\vec{RP}</math> orthogonal zu <math>\vec u</math>, so ist das Skalarprodukt und damit <math>|\vec{PL}|=0</math>.

Der Rest kann nun mit dem [[Satz von Pythagoras]] gefolgert werden, denn es gilt:

<math>|\vec{RP}|=\sqrt{|\vec{RL}|^2+|\vec{PL}|^2}</math>

Da <math>|\vec{RL}|=const</math> (da beide Punkte fest sind) wird das Minimum von <math>|\vec{RP}|</math> gerade dann erreicht, wenn <math>|\vec{PL}|=0</math> ist. Hier gilt dann aber, wie oben gezeigt, dass <math>\vec{RP}</math> orthogonal zu <math>\vec u</math> ist. Das bedeutet: '''das Minimum von <math>|\vec{RP}|</math> ist genau dann gegeben, wenn <math>\vec{RP}\perp\vec u</math> gilt!''' [[q.e.d.]]