Abstand Punkt-Gerade
Inhaltsverzeichnis
Vorwissen
Vektoren, Skalarprodukt, Geraden im Raum, Ebenen im Raum, Normalenvektor, Schnittpunkt Gerade-Ebene
Problem
Wir haben eine Gerade im Raum und einen Punkt
welcher nicht auf der Geraden liegt. Wir können bisher noch keinen Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnen.
Beispielsweise spielt der Abstand bei Planung eines Flughafens eine Rolle, denn hier können die Bahnen der startenden und landenden Flugzeuge als Gerade angenähert werden. Dabei muss immer ein gewisser minimaler Sicherheitsabstand zu umliegenden Gebäuden eingehalten werden.
Erinnerung
In einer früheren Klasse wurde das Problem bereits im zweidimensionalen behandelt. Hier wurde der Abstand gemessen indem das Geodreieck orthogonal so auf die Gerade gelegt wurde dass der Punkt auf der Skala liegt. Dann konnte der Abstand rechtwinklig am Geodreieck abgelesen werden.
Animation
Um das Problem eines startenden Flugzeugs zu verdeutlichen gibt es folgende Animation. Das Flugzeug kann dabei an der unteren Ecke entlang der Geraden verschoben werden:
Aufgrund der Problemstellung, dass ein minimaler Sicherheitsabstand eingehalten werden muss ergibt sich folgende Definition.
Definition
Als Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt
ist definiert als kleinstmöglicher Abstand zwischen diesen beiden.
formell
Eine Gerade ist definiert als Punktmenge (mit : Stützvektor und
: Richtungsvektor, vgl. Geraden im Raum):
dann gilt für den Abstand
Folgerung
Wie wir in der Animation auch anschaulich erkennen können, ist dieser minimale Abstand gerade dann gegeben, wenn der Verbindungsvektor orthogonal zur Geraden, bzw. deren Richtungsvektor
steht, d.h. das Skalarprodukt Null ergibt.
formeller Beweis
Diese Folgerung kann auch mathematisch mit dem Skalarprodukt bewiesen werden:
Hier soll jedoch nur die -Richtung gezeigt werden, welches der Behauptung entspricht: ist
orthogonal zu
, dann ist
minimal.
Wir wählen uns also den Punkt gerade so, dass
gilt. Zu zeigen ist nun, dass gerade der Abstand
der kürzestmögliche ist. Dazu wählen wir einen beliebigen Punkt
auf der Gerade und beweisen, dass
immer größer ist als
(für
).
Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass bereits ein Einheitsvektor ist (ansonsten können wir diesen zuerst normalisieren, da die Länge des Richtungsvektors für die Gerade keine Rolle spielt). Mit der formellen Definition des Skalarproduktes wissen wir:
Außerdem gilt
Durch Einsetzen erhalten wir:
Daraus können wir folgern: ist orthogonal zu
, so ist das Skalarprodukt und damit
.
Der Rest kann nun mit dem Satz von Pythagoras gefolgert werden, denn es gilt:
Da (da beide Punkte fest sind) wird das Minimum von
gerade dann erreicht, wenn
ist. Hier gilt dann aber, wie oben gezeigt, dass
orthogonal zu
ist. Das bedeutet: das Minimum von
ist genau dann gegeben, wenn
gilt! q.e.d.
Orthogonalitätsbedingung
Da wir nun wissen, dass , d.h.
sein muss können wir aus dieser Beziehung den Punkt
bestimmen. Dazu berechnen wir
- zuerst den Differenzvektor
, wobei
abhängig ist vom Paramter
- danach das Skalarprodukt
- dieses muss, da beide Vektoren orthogonal sein sollen, Null ergeben. Daraus bekommen wir den Wert für den Parameter
- anschließend setzen wir den erhaltenen Wert für
in die Gerade ein und erhalten so den Punkt
- zum Schluss können wir den Abstand
berechnen
Beispiel
Wir haben die Gerade sowir den Punkt
gegeben.
Schritt 1: Aufstellen des Differenzvektors
Wir bilden den Differenzvektor
Schritt 2: Skalarprodukt
Wir berechnen das Skalarprodukt von und
Schritt 3: Berechnung des Parameters 
Das oben berechnete Skalarprodukt muss Null ergeben, so bekommen wir den Parameter :
Schritt 4: Berechnung vom Punkt 
Das eben erhaltene setzen wir in die Gerade ein und erhalten daraus den Punkt
:
d.h.
Schritt 5: Abstand
berechnen
Das bedeutet: der Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt
ist
!