Abstand Punkt-Gerade: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 19. Mai 2015, 20:55 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwissen
2 Problem
- 2.1 Erinnerung
- 2.2 Animation
3 Definition
4 Orthogonalitätsbedingung
- 4.1 Beispiel

Vorwissen

Vektoren, Skalarprodukt, Geraden im Raum, Ebenen im Raum, Normalenvektor, Schnittpunkt Gerade-Ebene

Problem

Wir haben eine Gerade $\text{[math]}$ im Raum und einen Punkt $\text{[math]}$ welcher nicht auf der Geraden liegt. Wir können bisher noch keinen Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnen.

Beispielsweise spielt der Abstand bei Planung eines Flughafens eine Rolle, denn hier können die Bahnen der startenden und landenden Flugzeuge als Gerade angenähert werden. Dabei muss immer ein gewisser minimaler Sicherheitsabstand zu umliegenden Gebäuden eingehalten werden.

Erinnerung

In einer früheren Klasse wurde das Problem bereits im zweidimensionalen behandelt. Hier wurde der Abstand gemessen indem das Geodreieck orthogonal so auf die Gerade gelegt wurde dass der Punkt auf der Skala liegt. Dann konnte der Abstand rechtwinklig am Geodreieck abgelesen werden.

Animation

Um das Problem eines startenden Flugzeugs zu verdeutlichen gibt es folgende Animation. Das Flugzeug kann dabei an der unteren Ecke entlang der Geraden verschoben werden:

Aufgrund der Problemstellung, dass ein minimaler Sicherheitsabstand eingehalten werden muss ergibt sich folgende Definition.

Definition

Als Abstand zwischen einer Geraden $\text{[math]}$ und einem Punkt $\text{[math]}$ ist definiert als kleinstmöglicher Abstand zwischen diesen beiden.

formell

Eine Gerade ist definiert als Punktmenge (mit $\text{[math]}$ : Stützvektor und $\text{[math]}$ : Richtungsvektor, vgl. Geraden im Raum):

$\text{[math]}$

dann gilt für den Abstand

$\text{[math]}$

Folgerung

Wie wir in der Animation auch anschaulich erkennen können, ist dieser minimale Abstand gerade dann gegeben, wenn der Verbindungsvektor $\text{[math]}$ orthogonal zur Geraden, bzw. deren Richtungsvektor $\text{[math]}$ steht, d.h. das Skalarprodukt Null ergibt.

formeller Beweis

Diese Folgerung kann auch mathematisch mit dem Skalarprodukt bewiesen werden:

$\text{[math]}$

Hier soll jedoch nur die $\text{[math]}$ -Richtung gezeigt werden, welches der Behauptung entspricht: ist $\text{[math]}$ orthogonal zu $\text{[math]}$ , dann ist $\text{[math]}$ minimal.

Wir wählen uns also den Punkt $\text{[math]}$ gerade so, dass $\text{[math]}$ gilt. Zu zeigen ist nun, dass gerade der Abstand $\text{[math]}$ der kürzestmögliche ist. Dazu wählen wir einen beliebigen Punkt $\text{[math]}$ auf der Gerade und beweisen, dass $\text{[math]}$ immer größer ist als $\text{[math]}$ (für $\text{[math]}$ ).

Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $\text{[math]}$ bereits ein Einheitsvektor ist (ansonsten können wir diesen zuerst normalisieren, da die Länge des Richtungsvektors für die Gerade keine Rolle spielt). Mit der formellen Definition des Skalarproduktes wissen wir:

$\text{[math]}$

Außerdem gilt

$\text{[math]}$

Durch Einsetzen erhalten wir:

$\text{[math]}$

Daraus können wir folgern: ist $\text{[math]}$ orthogonal zu $\text{[math]}$ , so ist das Skalarprodukt und damit $\text{[math]}$ .

Der Rest kann nun mit dem Satz von Pythagoras gefolgert werden, denn es gilt:

$\text{[math]}$

Da $\text{[math]}$ (da beide Punkte fest sind) wird das Minimum von $\text{[math]}$ gerade dann erreicht, wenn $\text{[math]}$ ist. Hier gilt dann aber, wie oben gezeigt, dass $\text{[math]}$ orthogonal zu $\text{[math]}$ ist. Das bedeutet: das Minimum von $\text{[math]}$ ist genau dann gegeben, wenn $\text{[math]}$ gilt! q.e.d.

Orthogonalitätsbedingung

Da wir nun wissen, dass $\text{[math]}$ , d.h. $\text{[math]}$ sein muss können wir aus dieser Beziehung den Punkt $\text{[math]}$ bestimmen. Dazu berechnen wir

zuerst den Differenzvektor $\text{[math]}$ , wobei $\text{[math]}$ abhängig ist vom Paramter $\text{[math]}$
danach das Skalarprodukt $\text{[math]}$
dieses muss, da beide Vektoren orthogonal sein sollen, Null ergeben. Daraus bekommen wir den Wert für den Parameter $\text{[math]}$
anschließend setzen wir den erhaltenen Wert für $\text{[math]}$ in die Gerade ein und erhalten so den Punkt $\text{[math]}$
zum Schluss können wir den Abstand $\text{[math]}$ berechnen

Beispiel

Wir haben die Gerade $\text{[math]}$ sowir den Punkt $\text{[math]}$ gegeben.

Schritt 1: Aufstellen des Differenzvektors

Wir bilden den Differenzvektor $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Schritt 2: Skalarprodukt

Wir berechnen das Skalarprodukt von $\text{[math]}$ und $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Schritt 3: Berechnung des Parameters $\text{[math]}$

Das oben berechnete Skalarprodukt muss Null ergeben, so bekommen wir den Parameter $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Schritt 4: Berechnung vom Punkt $\text{[math]}$

Das eben erhaltene $\text{[math]}$ setzen wir in die Gerade ein und erhalten daraus den Punkt $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

d.h. $\text{[math]}$

Schritt 5: Abstand $\text{[math]}$ berechnen

$\text{[math]}$

Das bedeutet: der Abstand zwischen der Geraden $\text{[math]}$ und dem Punkt $\text{[math]}$ ist $\text{[math]}$ !

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 Eine Gerade ist definiert als Punktmenge (mit <math>\vec s</math>: Stützvektor und <math>\vec u</math>: Richtungsvektor, vgl. [[Geraden im Raum]]):
-<math>g:\qquad\{P\in\R^2\ ;\ \vec p=\vec s+t\cdot\vec u\}</math>
+<math>g=\{P\in\R^2\ ;\ \vec p=\vec s+t\cdot\vec u\}</math>
 dann gilt für den Abstand
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 Wie wir in der Animation auch anschaulich erkennen können, ist dieser minimale Abstand gerade dann gegeben, wenn der Verbindungsvektor <math>\vec{PR}</math> orthogonal zur Geraden, bzw. deren Richtungsvektor <math>\vec u</math> steht, d.h. das [[Skalarprodukt]] Null ergibt.
-=== formell ===
+=== formeller Beweis ===
-Diese Folgerung kann auch mathematisch mit dem Skalarprodukt bewiesen werden.‚
+Diese Folgerung kann auch mathematisch mit dem Skalarprodukt bewiesen werden:
+<math>|\vec{RP}|\text{ minimal}\iff\vec{RP}\perp\vec u</math>
+Hier soll jedoch nur die <math>\Leftarrow</math>-Richtung gezeigt werden, welches der Behauptung entspricht: '''ist <math>\vec{RP}</math> orthogonal zu <math>\vec u</math>, dann ist <math>|\vec{RP}|</math> minimal.'''
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+Wir wählen uns also den Punkt <math>L</math> gerade so, dass <math>\vec{RL}\perp\vec u</math> gilt. Zu zeigen ist nun, dass gerade der Abstand <math>|\vec{RL}|</math> der kürzestmögliche ist. Dazu wählen wir einen beliebigen Punkt <math>P</math> auf der Gerade und beweisen, dass <math>|\vec{RP}|</math> immer größer ist als <math>|\vec{RL}|</math> (für <math>P\neq L</math>).
+Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass <math>\vec u</math> bereits ein [[Einheitsvektor]] ist (ansonsten können wir diesen zuerst normalisieren, da die Länge des Richtungsvektors für die Gerade keine Rolle spielt). Mit der formellen Definition des [[Skalarprodukt]]es wissen wir:
+<math>\vec{RP}\cdot\vec u=|\vec{RP}|\cdot\underbrace{|\vec u|}_{=1}\cdot\cos(\alpha)</math>
+Außerdem gilt
+<math>\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\frac{|\vec{PL}|}{|\vec{RP}|}</math>
+Durch Einsetzen erhalten wir:
+<math>\vec{RP}\cdot\vec u=|\vec{PL}|</math>
+Daraus können wir folgern: ist <math>\vec{RP}</math> orthogonal zu <math>\vec u</math>, so ist das Skalarprodukt und damit <math>|\vec{PL}|=0</math>.
+Der Rest kann nun mit dem [[Satz von Pythagoras]] gefolgert werden, denn es gilt:
+<math>|\vec{RP}|=\sqrt{|\vec{RL}|^2+|\vec{PL}|^2}</math>
+Da <math>|\vec{RL}|=\mathrm{const}</math> (da beide Punkte fest sind) wird das Minimum von <math>|\vec{RP}|</math> gerade dann erreicht, wenn <math>|\vec{PL}|=0</math> ist. Hier gilt dann aber, wie oben gezeigt, dass <math>\vec{RP}</math> orthogonal zu <math>\vec u</math> ist. Das bedeutet: '''das Minimum von <math>|\vec{RP}|</math> ist genau dann gegeben, wenn <math>\vec{RP}\perp\vec u</math> gilt!''' [[q.e.d.]]
+== Orthogonalitätsbedingung ==
+Da wir nun wissen, dass <math>\vec{RP}\perp\vec u</math>, d.h. <math>\vec{RP}\cdot\vec u=0</math> sein muss können wir aus dieser Beziehung den Punkt <math>P</math> bestimmen. Dazu berechnen wir
+# zuerst den Differenzvektor <math>\vec{RP}=\vec p-\vec r</math>, wobei <math>\vec p</math> abhängig ist vom Paramter <math>t</math>
+# danach das Skalarprodukt <math>(\vec p-\vec r)\cdot u</math>
+# dieses muss, da beide Vektoren orthogonal sein sollen, Null ergeben. Daraus bekommen wir den Wert für den Parameter <math>t</math>
+# anschließend setzen wir den erhaltenen Wert für <math>t</math> in die Gerade ein und erhalten so den Punkt <math>P</math>
+# zum Schluss können wir den Abstand <math>|\vec{RP}|</math> berechnen
+=== Beispiel ===
+Wir haben die Gerade <math>g:\ \vec x=\left(\begin{matrix}0\\2\\-1\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}-1\\0\\-1\end{matrix}\right)</math> sowir den Punkt <math>R(-3\mid4\mid-4)</math> gegeben.
+==== Schritt 1: Aufstellen des Differenzvektors ====
+Wir bilden den Differenzvektor <math>\vec{RP}=\vec p-\vec r</math>
+<math>\vec{RP}=\vec p-\vec r=\left(\begin{matrix}0-1t\\2+0t\\-1-1t\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}-3\\4\\-4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-t\\-2\\3-t\end{matrix}\right)</math>
+==== Schritt 2: Skalarprodukt ====
+Wir berechnen das Skalarprodukt von <math>(\vec p-\vec r)</math> und <math>\vec u</math>
+<math>\left(\begin{matrix}-3-t\\-2\\-5-t\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1\\0\\-1\end{matrix}\right)=(3-t)\cdot(-1)+(3-t)\cdot(-1)=-6+2t</math>
+==== Schritt 3: Berechnung des Parameters <math>t</math> ====
+Das oben berechnete Skalarprodukt muss Null ergeben, so bekommen wir den Parameter <math>t</math>:
+<math>-6+2t=0\iff 2t=6\iff t=3</math>
+==== Schritt 4: Berechnung vom Punkt <math>P</math> ====
+Das eben erhaltene <math>t</math> setzen wir in die Gerade ein und erhalten daraus den Punkt <math>P</math>:
+<math>\vec p=\left(\begin{matrix}0\\2\\-1\end{matrix}\right)+3\cdot\left(\begin{matrix}-1\\0\\-1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\\-4\end{matrix}\right)</math>
+d.h. <math>P(-3\mid2\mid-4)</math>
+==== Schritt 5: Abstand <math>|\vec{PR}|</math> berechnen ====
+<math>|\vec{PR}|=d(P;R)=\sqrt{(-3-(-3))^2+(2-4)^2+(-4-(-4))^2}=\sqrt{0^2+(-2)^2+0^2}=2</math>
+Das bedeutet: '''der Abstand zwischen der Geraden <math>g</math> und dem Punkt <math>R</math> ist <math>2\,\mathrm{LE}</math>!'''

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