Abstand Punkt-Gerade: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>|\vec{RP}|=\sqrt{|\vec{RL}|^2+|\vec{PL}|^2}</math> | <math>|\vec{RP}|=\sqrt{|\vec{RL}|^2+|\vec{PL}|^2}</math> | ||
| − | Da <math>|\vec{RL}|=\const</math> (da beide Punkte fest sind) wird das Minimum von <math>|\vec{RP}|</math> gerade dann erreicht, wenn <math>|\vec{PL}|=0</math> ist. Hier gilt dann aber, wie oben gezeigt, dass <math>\vec{RP}</math> orthogonal zu <math>\vec u</math> ist. Das bedeutet: '''das Minimum von <math>|\vec{RP}|</math> ist genau dann gegeben, wenn <math>\vec{RP}\perp\vec u</math> gilt!''' [[q.e.d.]] | + | Da <math>|\vec{RL}|=\mathrm{const}</math> (da beide Punkte fest sind) wird das Minimum von <math>|\vec{RP}|</math> gerade dann erreicht, wenn <math>|\vec{PL}|=0</math> ist. Hier gilt dann aber, wie oben gezeigt, dass <math>\vec{RP}</math> orthogonal zu <math>\vec u</math> ist. Das bedeutet: '''das Minimum von <math>|\vec{RP}|</math> ist genau dann gegeben, wenn <math>\vec{RP}\perp\vec u</math> gilt!''' [[q.e.d.]] |
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| + | == Orthogonalitätsbedingung == | ||
| + | Da wir nun wissen, dass <math>\vec{RP}\perp\vec u</math>, d.h. <math>\vec{RP}\cdot\vec u=0</math> sein muss können wir aus dieser Beziehung den Punkt <math>P</math> bestimmen. Dazu berechnen wir | ||
| + | # zuerst den Differenzvektor <math>\vec{RP}=\vec p-\vec r</math>, wobei <math>\vec p</math> abhängig ist vom Paramter <math>t</math> | ||
| + | # danach das Skalarprodukt <math>(\vec p-\vec r)\cdot u</math> | ||
| + | # dieses muss, da beide Vektoren orthogonal sein sollen, Null ergeben. Daraus bekommen wir den Wert für den Parameter <math>t</math> | ||
| + | # anschließend setzen wir den erhaltenen Wert für <math>t</math> in die Gerade ein und erhalten so den Punkt <math>P</math> | ||
| + | # zum Schluss können wir den Abstand <math>|\vec{RP}|</math> berechnen | ||
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| + | === Beispiel === | ||
| + | Wir haben die Gerade <math>g:\ \vec x=\left(\begin{matrix}0\\2\\-1\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}-1\\0\\-1\end{matrix}\right)</math> sowir den Punkt <math>R(-3\mid4\mid-4)</math> gegeben. | ||
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| + | ==== Schritt 1: Aufstellen des Differenzvektors ==== | ||
| + | Wir bilden den Differenzvektor <math>\vec{RP}=\vec p-\vec r</math> | ||
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| + | <math>\vec{RP}=\vec p-\vec r=\left(\begin{matrix}0-1t\\2+0t\\-1-1t\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}-3\\4\\-4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-t\\-2\\3-t\end{matrix}\right)</math> | ||
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| + | ==== Schritt 2: Skalarprodukt ==== | ||
| + | Wir berechnen das Skalarprodukt von <math>(\vec p-\vec r)</math> und <math>\vec u</math> | ||
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| + | <math>\left(\begin{matrix}-3-t\\-2\\-5-t\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1\\0\\-1\end{matrix}\right)=(3-t)\cdot(-1)+(3-t)\cdot(-1)=-6+2t</math> | ||
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| + | ==== Schritt 3: Berechnung des Parameters <math>t</math> ==== | ||
| + | Das oben berechnete Skalarprodukt muss Null ergeben, so bekommen wir den Parameter <math>t</math>: | ||
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| + | <math>-6+2t=0\iff 2t=6\iff t=3</math> | ||
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| + | ==== Schritt 4: Berechnung vom Punkt <math>P</math> ==== | ||
| + | Das eben erhaltene <math>t</math> setzen wir in die Gerade ein und erhalten daraus den Punkt <math>P</math>: | ||
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| + | <math>\vec p=\left(\begin{matrix}0\\2\\-1\end{matrix}\right)+3\cdot\left(\begin{matrix}-1\\0\\-1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\\-4\end{matrix}\right)</math> | ||
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| + | d.h. <math>P(-3\mid2\mid-4)</math> | ||
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| + | ==== Schritt 5: Abstand <math>|\vec{PR}|</math> berechnen ==== | ||
| + | <math>|\vec{PR}|=d(P;R)=\sqrt{(-3-(-3))^2+(2-4)^2+(-4-(-4))^2}=\sqrt{0^2+(-2)^2+0^2}=2</math> | ||
| + | |||
| + | Das bedeutet: '''der Abstand zwischen der Geraden <math>g</math> und dem Punkt <math>R</math> ist <math>2\,\mathrm{LE}</math>!''' | ||
Aktuelle Version vom 19. Mai 2015, 20:55 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Vorwissen
Vektoren, Skalarprodukt, Geraden im Raum, Ebenen im Raum, Normalenvektor, Schnittpunkt Gerade-Ebene
Problem
Wir haben eine Gerade 
im Raum und einen Punkt 
welcher nicht auf der Geraden liegt. Wir können bisher noch keinen Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnen.
Beispielsweise spielt der Abstand bei Planung eines Flughafens eine Rolle, denn hier können die Bahnen der startenden und landenden Flugzeuge als Gerade angenähert werden. Dabei muss immer ein gewisser minimaler Sicherheitsabstand zu umliegenden Gebäuden eingehalten werden.
Erinnerung
In einer früheren Klasse wurde das Problem bereits im zweidimensionalen behandelt. Hier wurde der Abstand gemessen indem das Geodreieck orthogonal so auf die Gerade gelegt wurde dass der Punkt auf der Skala liegt. Dann konnte der Abstand rechtwinklig am Geodreieck abgelesen werden.
Animation
Um das Problem eines startenden Flugzeugs zu verdeutlichen gibt es folgende Animation. Das Flugzeug kann dabei an der unteren Ecke entlang der Geraden verschoben werden:
Aufgrund der Problemstellung, dass ein minimaler Sicherheitsabstand eingehalten werden muss ergibt sich folgende Definition.
Definition
Als Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt ist definiert als kleinstmöglicher Abstand zwischen diesen beiden.
formell
Eine Gerade ist definiert als Punktmenge (mit 
: Stützvektor und 
: Richtungsvektor, vgl. Geraden im Raum):
dann gilt für den Abstand
Folgerung
Wie wir in der Animation auch anschaulich erkennen können, ist dieser minimale Abstand gerade dann gegeben, wenn der Verbindungsvektor 
orthogonal zur Geraden, bzw. deren Richtungsvektor steht, d.h. das Skalarprodukt Null ergibt.
formeller Beweis
Diese Folgerung kann auch mathematisch mit dem Skalarprodukt bewiesen werden:
Hier soll jedoch nur die 
-Richtung gezeigt werden, welches der Behauptung entspricht: ist 
orthogonal zu , dann ist 
minimal.
Wir wählen uns also den Punkt 
gerade so, dass 
gilt. Zu zeigen ist nun, dass gerade der Abstand 
der kürzestmögliche ist. Dazu wählen wir einen beliebigen Punkt 
auf der Gerade und beweisen, dass immer größer ist als (für 
).
Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass bereits ein Einheitsvektor ist (ansonsten können wir diesen zuerst normalisieren, da die Länge des Richtungsvektors für die Gerade keine Rolle spielt). Mit der formellen Definition des Skalarproduktes wissen wir:
Außerdem gilt
Durch Einsetzen erhalten wir:
Daraus können wir folgern: ist orthogonal zu , so ist das Skalarprodukt und damit 
.
Der Rest kann nun mit dem Satz von Pythagoras gefolgert werden, denn es gilt:
Da 
(da beide Punkte fest sind) wird das Minimum von gerade dann erreicht, wenn ist. Hier gilt dann aber, wie oben gezeigt, dass orthogonal zu ist. Das bedeutet: das Minimum von ist genau dann gegeben, wenn 
gilt! q.e.d.
Orthogonalitätsbedingung
Da wir nun wissen, dass , d.h. 
sein muss können wir aus dieser Beziehung den Punkt bestimmen. Dazu berechnen wir
- zuerst den Differenzvektor
, wobei 
abhängig ist vom Paramter 
- danach das Skalarprodukt
- dieses muss, da beide Vektoren orthogonal sein sollen, Null ergeben. Daraus bekommen wir den Wert für den Parameter
- anschließend setzen wir den erhaltenen Wert für in die Gerade ein und erhalten so den Punkt
- zum Schluss können wir den Abstand berechnen
Beispiel
Wir haben die Gerade 
sowir den Punkt 
gegeben.
Schritt 1: Aufstellen des Differenzvektors
Wir bilden den Differenzvektor
Schritt 2: Skalarprodukt
Wir berechnen das Skalarprodukt von 
und
Schritt 3: Berechnung des Parameters
Das oben berechnete Skalarprodukt muss Null ergeben, so bekommen wir den Parameter :
Schritt 4: Berechnung vom Punkt
Das eben erhaltene setzen wir in die Gerade ein und erhalten daraus den Punkt :
d.h. 
Schritt 5: Abstand 
berechnen
Das bedeutet: der Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt ist 
!
