Abstand Punkt-Gerade

Vorwissen

Vektoren, Skalarprodukt, Geraden im Raum, Ebenen im Raum, Normalenvektor, Schnittpunkt Gerade-Ebene

Problem

Wir haben eine Gerade im Raum und einen Punkt welcher nicht auf der Geraden liegt. Wir können bisher noch keinen Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnen.

Beispielsweise spielt der Abstand bei Planung eines Flughafens eine Rolle, denn hier können die Bahnen der startenden und landenden Flugzeuge als Gerade angenähert werden. Dabei muss immer ein gewisser minimaler Sicherheitsabstand zu umliegenden Gebäuden eingehalten werden.

Erinnerung

In einer früheren Klasse wurde das Problem bereits im zweidimensionalen behandelt. Hier wurde der Abstand gemessen indem das Geodreieck orthogonal so auf die Gerade gelegt wurde dass der Punkt auf der Skala liegt. Dann konnte der Abstand rechtwinklig am Geodreieck abgelesen werden.

Animation

Um das Problem eines startenden Flugzeugs zu verdeutlichen gibt es folgende Animation. Das Flugzeug kann dabei an der unteren Ecke entlang der Geraden verschoben werden:

Aufgrund der Problemstellung, dass ein minimaler Sicherheitsabstand eingehalten werden muss ergibt sich folgende Definition.

Definition

Als Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt ist definiert als kleinstmöglicher Abstand zwischen diesen beiden.

formell

Eine Gerade ist definiert als Punktmenge (mit : Stützvektor und : Richtungsvektor, vgl. Geraden im Raum):

dann gilt für den Abstand

Folgerung

Wie wir in der Animation auch anschaulich erkennen können, ist dieser minimale Abstand gerade dann gegeben, wenn der Verbindungsvektor orthogonal zur Geraden, bzw. deren Richtungsvektor steht, d.h. das Skalarprodukt Null ergibt.

formeller Beweis

Diese Folgerung kann auch mathematisch mit dem Skalarprodukt bewiesen werden:

Hier soll jedoch nur die -Richtung gezeigt werden, welches der Behauptung entspricht: ist orthogonal zu , dann ist minimal.

Wir wählen uns also den Punkt gerade so, dass gilt. Zu zeigen ist nun, dass gerade der Abstand der kürzestmögliche ist. Dazu wählen wir einen beliebigen Punkt auf der Gerade und beweisen, dass immer größer ist als (für ).

Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass bereits ein Einheitsvektor ist (ansonsten können wir diesen zuerst normalisieren, da die Länge des Richtungsvektors für die Gerade keine Rolle spielt). Mit der formellen Definition des Skalarproduktes wissen wir:

Außerdem gilt

Durch Einsetzen erhalten wir:

Daraus können wir folgern: ist orthogonal zu , so ist das Skalarprodukt und damit .

Der Rest kann nun mit dem Satz von Pythagoras gefolgert werden, denn es gilt:

Da (da beide Punkte fest sind) wird das Minimum von gerade dann erreicht, wenn ist. Hier gilt dann aber, wie oben gezeigt, dass orthogonal zu ist. Das bedeutet: das Minimum von ist genau dann gegeben, wenn gilt! q.e.d.

Orthogonalitätsbedingung

Da wir nun wissen, dass , d.h. sein muss können wir aus dieser Beziehung den Punkt bestimmen. Dazu berechnen wir

1. zuerst den Differenzvektor , wobei abhängig ist vom Paramter
2. danach das Skalarprodukt
3. dieses muss, da beide Vektoren orthogonal sein sollen, Null ergeben. Daraus bekommen wir den Wert für den Parameter
4. anschließend setzen wir den erhaltenen Wert für in die Gerade ein und erhalten so den Punkt
5. zum Schluss können wir den Abstand berechnen

Beispiel

Wir haben die Gerade sowir den Punkt gegeben.

Schritt 1: Aufstellen des Differenzvektors

Wir bilden den Differenzvektor

Schritt 2: Skalarprodukt

Wir berechnen das Skalarprodukt von und

Schritt 3: Berechnung des Parameters

Das oben berechnete Skalarprodukt muss Null ergeben, so bekommen wir den Parameter :

Schritt 4: Berechnung vom Punkt

Das eben erhaltene setzen wir in die Gerade ein und erhalten daraus den Punkt :

d.h.

Schritt 5: Abstand berechnen

Das bedeutet: der Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt ist !