Kraft auf stromdurchflossenen Leiter

Vorwissen

Lorentzkraft

Versuch

Versuchsaufbau+Durchführung: Wir hängen einen Leiter in ein Magnetfeld (z.B. Hufeisenmagnet) und lassen einen Strom durch den Leiter fließen.

Beobachtung: Der Leiter wird - je nach Stromrichtung - entweder aus dem Magnet herausgedrückt, oder in den Magnet hineingezogen.

Erklärung: Wir können das Phänomen mit der Lorentzkraft beschreiben.

Kraft auf stromdurchflossenen Leiter

Wir wollen nun wissen, welche Kraft auf den Leiter wirkt. Dazu gehen wir von der Lorentzkraft aus:

Wobei die Lorentzkraft, die Ladung, die Geschwindigkeit der Teilchen und die Stärke des Magnetfeldes angibt.

Betrachten wir unseren stromdurchflossenen Leiter, so wissen wir, dass sich darin die Elektronen mit einer Ladung von bewegen. Jedoch können wir die Geschwindigkeit noch nicht direkt angeben.

Nach der Definition der elektrischen Stromstärke gibt diese an, welche Ladungsmenge in einer bestimmten Zeit durch einen Leiter fließt. Es gilt also:

Für die Geschwindigkeit kennen wir aus der Mechanik den Zusammenhang

mit der Strecke bzw. der Leiterlänge und der Zeit .

Setzen wir diese beiden Zusammenhänge in die Formel für die Lorentzkraft ein so erhalten wir:

Auf einen Leiter der Länge in einem Magnetfeld wirkt bei einer Stromstärke also die Kraft

Aufgabe 1

Das magnetische Feld eines Dauermagneten in einem Drehspulinstrument besitzt die magnetische Flussdichte . Auf ein zu diesem Magnetfeld senkrechtes Leiterstück der Länge wirkt die Kraft .

Wie groß ist die elektrische Stromstärke ?

Lösung

gegeben: , ,

gesucht:

Formel umstellen:

einsetzen:

Antwort: Durch den Leiter fließt eine Stromstärke von

Aufgabe 2

In einem Magnetfeld befindet sich ein langer elektrischer Leiter. Auf diesen wirkt eine Kraft von . Die elektrische Stromstärke beträgt .

1. Wie groß ist die magnetische Flussdichte , wenn der Leiter senkrecht zu den magnetischen Feldlinien steht?
2. Wie groß ist die magnetische Flussdichte , wenn der Winkel zwischen Leiter und magnetischen Feldlinien beträgt?

Lösung 1

gegeben: , ,

gesucht:

Formel umstellen:

einsetzen und ausrechnen ergibt: Die magnetische Flussdichte beträgt

Lösung 2

• 

  Zerlegung der Länge im Magnetfeld

Ist der Leiter nicht senkrecht zum Magnetfeld, so müssen wir zunächst die vektorielle Geschwindigkeit zerlegen. Die Lorentzkraft wirkt nämlich nur auf den Anteil, der senkrecht zum Magnetfeld steht. Die wirksame Länge - also diejenige, die senkrecht zum Magnetfeld steht - berechnet sich aus der Länge multipliziert mit dem Sinus des Winkels:

Für die Kraft auf einen schräg im Magnetfeld liegenden Leiter gilt also:

Anmerkung: natürlich gilt diese Formel immer, da bei einem senkrechten Leiter und damit gilt.

Zur Lösung der Aufgabe müssen wir also lediglich diese Formel verwenden:

gegeben: , , ,

gesucht:

Formel umstellen:

einsetzen und ausrechnen ergibt: Die magnetische Flussdichte beträgt

Aufgabe 3

• 

Das abgebildete quadratische Leiterrähmchen besitzt Windungen, seine Seitenlänge beträgt und seine Masse . Es befindet sich nur zum Teil in einem homogenen Magnetfeld, das senkrecht in die Bildebene hinein zeigt. Die Rahmenquerschnittsfläche wird senkrechtvom Magnetfeld durchsetzt.

1. Fließt durch die Leiterwindungen des Rahmens ein Gleichstrom der Stärke in geeigneter Richtung, dann wird seine Gewichtskraft genau kompensiert. Welches Ende des Leiters ist mit dem Plus- welches mit dem Minuspol der Spannungsquelle verbunden?
2. Berechne die magnetische Flussdichte
3. Begründe, warum so ein Kräftegleichgewicht unmöglich ist, wenn der Rahmen vollständig in das Magnetfeld eingetaucht ist.
4. Das Rähmchen ist nun drehbar um die Achse v gelagert. Bestimme, um welchen Winkel es aus der abgebildeten Stellung zu drehen ist, damit seine Gewichtskraft bei einer Stromstärke von kompensiert wird.

Lösung 1

Mithilfe der linken-Hand-Regel der Lorentzkraft können wir direkt herausfinden, dass die Kraft auf die linke Seite des Leiterrahmens der Kraft auf der rechte Seite des Leiterrahmens entgegengesetzt ist und sich somit genau aufhebt. Wir müssen also lediglich die untere Seite betrachten.

Damit die Lorentzkraft die Gewichtskraft kompensieren kann muss sie entgegen der Gewichtskraft, d.h. nach oben wirken. Mit der linken-Hand-Regel können wir damit sehr schnell bestimmen, dass an der Unterseite des Leiterrahmens die Elektronen nach links fließen müssen, so dass im Bild am vorderen Anschluss der Pluspol sein muss.

Lösung 2

Die wirksame Länge des im Magnetfeld befindlichen Leiters ist jetzt

Somit gilt für die Kraft:

Da die Gewichtskraft kompensiert werden soll, muss diese zunächst berechnet werden:

Setzt man die sonstigen gegebenen Werte in die Formel ein, so erhält man

Lösung 3

Wenn der Leiterrahmen komplett im Magnetfeld wäre, so würde auf das obere Ende ebenfalls eine Kraft wirken. Diese wäre genau der Kraft auf das untere Ende des Rahmens entgegengesetzt und würde sich - ebenso wie die beiden Kräfte an linker und rechter Seite - genau aufheben.

Lösung 4

Die wirksame Leiterlänge an der Unterkante bei Drehung ist

Für die Kraft gilt also:

Einsetzen und ausrechnen ergibt einen Winkel von

Aufgabe 4

• 

Bei dem abgebildeten Leiter sind die vertikalen Stücke zueinander parallel. Es ist , und . Er wird von einem Gleichstrom durchflossen (Elektronen von A nach B) und befindet sich vollständig in einem Magnetfeld mit .

1. Berechne die Kraftbeträge auf die einzelnen Leiterstücke.
2. Was kann man über die resultierende Gesamtkraft aussagen?

Lösung 1

Die Kraftbeträge lassen sich direkt mit der Formel berechnen:

Lösung 2

Anstatt den Abschnitt direkt zu bestimmen können wir diesen auch wieder zerlegen in eine horizontale und eine vertikale Richtung. Der vertikale Abstand ist , da hiermit ja der Unterschied zwischen der Länge und ausgeglichen wird. Der horizontale Abstand ergibt sich dann nach dem Pythagoras mit .

Betrachten wir diese Richtungen separat, so können wir auch die Kräfte separat bestimmen (die Gesamtkraft bleibt dabei jedoch gleich!).

Für die vertikale Stromrichtung ergibt sich damit eine Kraft von nach links, für die horizontale Stromrichtung eine Kraft von .

Betrachten wir den Gesamten Leiter, so erkennen wir, dass die Kräfte welche nach links wirken und die Kräfte die nach rechts wirken aufsummiert gleich gro sind und sich somit gerade aufheben. Somit bleibt als Gesamtkraft lediglich die Kraft übrig, die aus der horizontalen Stromrichtung, also aus dem horizontalen Abstand folgt.